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このため、通常の単純標準偏差よりも指数加重標準偏差を使うほうが、リスク管理には都合が良さそうです。

ところで、リスクの大きさの変化はリターンの分布の形状の深い関係があります。
結論から先に書きますと、リスクの大きさが変化する場合には、リターン分布はすその厚い分布となります。

つまり、分布のはなしその4で書いたように、正規分布と比較して、極端な値の出現する回数が多くなるのです。

たとえば、ある資産の100日間のリターン分布の前半の50日間は標準偏差1%の正規分布、後半の50日は標準偏差2%の正規分布とします。

このとき、100日間全体での標準偏差は約1.58%位になります。ところが、100日間トータルで見ると、リターンの分布は正規分布ではなくなり、すその厚い分布となります。

20080426-1
(クリックで拡大)

上の図は、標準偏差1%と2%の正規分布です。この2つの分布を合成すると下の図の青い線の分布となります。下の図の赤い線は標準偏差を同じ値とした正規分布です。

図では、ちょっと分りにくいのですが、青い線の合成分布は赤い線の正規分布よりもすその厚い分布となっています。

20080426-2
(クリックで拡大)

このことから、実際の資産のリターン分布を調べてみて、それがすその厚い分布をしている場合には、リターンの標準偏差は一定ではなく、時期によってその大きさが変化していることが、その原因と考えてみることもできます。

とすれば、指数加重移動平均のように、標準偏差の変化にすばやく反応するリスク推定法を使うことによって、リターン系列がすその厚い分布を持つ資産のリスク管理をより正確に行うことができるようになります。

今回のは、ちょっと難しい話題でした。


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注) 資産のリターン系列がすその厚い分布になるのは、リスクが変化することが理由のひとつと思われますが、それがすべてではありません。どうして、そのような分布になるのかは、その理由は、完全には分っていません。
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指数加重標準偏差

突然ですが、テクニカル指標の移動平均の計算方法をご存知でしょうか。

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25日移動平均ですと、直近の25日間の価格の単純平均値を計算しますね。
式で書くと
20080417-2
です。

この計算式を良く見ると、平均を計算するときにすべてのデータの重み付けが同じとなっています。単純と言われる所以ですが、25日前も当日も同じ重み付けをしています。

この計算方法ですと、直近で大きく価格が動いたときには、移動平均が価格について行けずに指標として利用できない状態になってしまうことがあります。

といって、移動平均の計算期間を短くすれば、今度は価格にべったりとくっ付いてしまって役立ちません。

つまり単純移動平均では、ある程度の日数の計算期間を取る必要がありますが、価格が急激に変動したときには、利用できないという欠点があります。

移動平均の計算期間は長く取りながら、価格の急激な変化にもついてゆけるような移動平均があれば、便利だと思いませんか。

そのようなニーズから考えられた移動平均が、加重移動平均や指数加重移動平均です。

単純移動平均が、計算期間のすべての価格に対して同じウエイトで平均値を計算しているのに対して、これらの加重移動平均は、現時点に近い価格ほどウエイトを大きくして計算をする方式です。

この結果、計算期間の長い移動平均の性質を持ちながら、大きな価格変動にも機敏に反応するという、都合の良い性質を移動平均に持たせることができます。

加重移動平均や指数加重移動平均の具体的な計算方法については、ネット上やテクニカル分析の本で調べてください。

さて、私たちの興味のある話題はリスクの計算方法でした。

ここでなぜ、移動平均の話をここで持ち出したかといいますと、加重移動平均や指数加重移動平均の考え方を標準偏差の計算方法にも応用できないか、と、筆者はひらめいたからです。

長期間のデータを使って安定的な標準偏差を計算しながら、急激なリスクの上昇にも速やかに反応するリスク指標!なんとすばらしいのでしょうか。

早速特許を、と言いたいところですが、実は、指数加重標準偏差はプロのリスク管理では当たり前のように使われています。筆者のオリジナルアイデアではありません。

(ちょっと余談ですが、何にかしらアイデアが浮かんだときには、10のうち8は使い物にならない、残る2つのうち1つは誰かがすでにやっている、最後の1つがオリジナルで少しは役立つ、というくらいですね。)

ただし、個人投資家の世界では、まったくといってよいほど知られていません。

ということで、早速、指数加重標準偏差を計算してみましょう。下図を見てください。
指数加重標準偏差
(クリックで拡大)

赤い線が単純標準偏差(100日)、緑の線が指数加重標準偏差です。見やすくするために、標準偏差の値は5倍してあります。

指数加重標準偏差は単純標準偏差と比較するとリスクが増大する局面において、すばやく反応することが分ります。特に2007年8月をみると顕著にわかります。

また、リスクがあまり変化しない時期には、単純標準偏差と同じように安定的に推移しています。
この特徴はリスク管理をする上で、かなり都合の良い性質です。

指数加重標準偏差は、リスク変化が変化すればすばやく反応するが、リスクが安定している時期には不要な動きは少なくなります。

続きます。

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リスクの変化

少し時間が空きましたが、リスク管理 ヒストリカル法の続きです。

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前回は、単一の通貨ペアでのヒストリカル法を説明しました。ポートフォリオではどうすれば良いのでしょうか。

共分散行列をうまく使うと計算できるのでしょうか?
残念ですが、これはちょっとうまく行きません。

結局、ポートフォリオのリターン系列から分布関数をつくって、単一の通貨ペアでやったように推定します。実際、そのようにしてリスク管理をする場合もあります。

ポートフォリオでもやはりファットテールの性質はありますので、興味のある人はエクセル等で計算してみてください。 
ポートフォリオのリターンを計算するを参照してください。

さて、別の対策を考えて見ましょう。下図を見てください。
20080415-1
(クリックで拡大)

青い棒グラフはNZDJPYの日次リターングラフです。また、茶色の線は100日間の標準偏差の推移です。分りやすいように、0を対象にして‐1をかけた線も書いてあります。

標準偏差の推移、つまり、リスクの推移をみてみると、かなり変化していることがわかります。2005年ころは、比較的低い値でしたが、2006年には少し高くなり2007年に後半には、かなり高い値に跳ね上がっています。

日次で計算したリスクが高いとは、日次リターンが大きい日、つまり青い棒グラフが長い日が頻繁に発生することです。

グラフを見ると良く分るのですが、2005年と2007年を比較すると、明らかに2007年のほうが、日次リターンが大きくなっています。(棒グラフが長い)

ここから分ることは、

リスクは時間が経つと変化し、時期によって異なる。

リスクが低ければ、しばらくは低い状態が続く。
リスクが高ければ、しばらくは高い状態が続く。


という性質がリスクにはあります。

さらに、リスクの低い時期から高い時期に、いつ変化するかは予測がつきません。

サブプライムのようなことが発生すると、突然、リスクが高い時期に移行します。
また、リスクが高い時期から低い時期へは、徐々に移行する傾向があります。

下図は、前図から標準偏差のグラフだけを表示したものです。上記の傾向が見て取れると思います。
20080415-2
(クリックで拡大)

では、これらのリスクの性質が分ったとして、どのような対策を取ればよいのでしょうか。

続きます。

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スワップ派のための相関係数 その4

ポートフォリオのリスク計測では、「ポートフォリオのポジション額の変化率の標準偏差」とすることが、わかりました。

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では、簡単に式展開の概略を説明します。

AとBの2つの通貨ペアのポートフォリオのポジション額の変化率の標準偏差は、
「Aのレートの変化率の標準偏差」
「Bのレートの変化率の標準偏差」
「AのレートとBのレートの変化率の相関係数」
「Aのウエイト」
「Bのウエイト」
の5つの値から計算することが可能です。

一方、
ポートフォリオのポジション額の標準偏差の計算をしたいのであれば、
「Aレートの標準偏差」
「Bのレートの標準偏差」
「AとBのレートの相関係数」
「Aのウエイト」
「Bのウエイト」
で計算できます。

よく紹介されているのが、相関係数だけレートとなっていて、
「Aのレートの変化率の標準偏差」
「Bのレートの変化率の標準偏差」
「AとBのレートの相関係数」
「Aのウエイト」
「Bのウエイト」
で計算するようにしているものです。さすがに、これは無茶苦茶としか言いようがありません。


私としては、ポートフォリオのリスク計算から離れて、単純に2つの為替ペアの関係を見るために「レートから計算した相関係数」を使うこと自体を否定してはいません。

なんらかの参考になるかもしれません。

ただ、レートから計算した相関係数はあまりにも不安定で信頼性に欠けるので、参考情報としても使うことも、あまりお勧めできません。
詳しくは、
正しい相関と誤った相関 その具体例を参考としてください。

リスク分析のために使う相関係数の計算を資産変化率の系列から求めるのは、プロの世界では常識です。

個人投資家の為替の世界だけが、なぜか「為替レート(価格)から計算した相関係数」がよく紹介されています。どうしてこんなことになっているのか、ちょっと不思議に思っています。


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スワップ派のための相関係数 その3

単独での通貨ペアの場合のリスクの計測方法はきまりました。

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では、複数の通貨ペアが含まれているポートフォリオの場合は、どのようにリスクを計算すればよいのでしょう。

単独の通貨ペアの場合と同様に考えて、
「ポートフォリオのポジション額の変化率の標準偏差」をリスクとすればよいでしょう。

「ポートフォリオのポジション額の標準偏差」では、「為替レートの標準偏差」のときと同じ問題が発生してしまいます。

次に、「ポートフォリオのポジション額の変化率の標準偏差」はどうやって計算するか、を考えなければいけません。

ここで、ようやく相関係数が登場します。
計算の途中段階に相関係数という項が出てくるのです。

つまり、
「ポートフォリオのポジション額の変化率の標準偏差」を計算する過程で出てくる相関係数の項はどのように計算されているか、を調べてみれば
「変化率の相関係数」と「レートの相関係数」のどちらを使うべきかは、明確にわかります。

相関係数というものが前面に出てきて
「レート変化率の相関係数」と「レートの相関係数」のどちらを使うのが良いのかと考えるのではなく、

ポートフォリオのリスクをどのように計算するかが決まってしまえば、自動的に相関係数の計算方法も決まってしまうのです。

そして、その計算方法は「為替レートの変化率の相関係数」となります。
(ここでは、式展開は省略します。)
これが、レートの変化率の相関係数を使う理由です。

詳しくは、
ブログのメニューの相関係数関連の部分を読んでください。

続きます。

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スワップ派のための相関係数 その2

標準偏差をリスク計測の道具として使うと決めるとします。どうやって、標準偏差を計算すればよいのでしょうか。

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為替の場合、通常、過去データから
「為替レートの変化率(リターン)の標準偏差」を使います。

これは、他の方もそうしています。実際、これで良いのですが、では、どうして「為替レートの変化率」で標準偏差を計算するのでしょうか。
「為替レート」の標準偏差では間違っているのでしょうか。

これは実は極めて重要なことになります。

「為替レートの変化率の標準偏差」
「為替レートの標準偏差」


どちらが、スワップ派がリスクとして使うのに都合がよいのでしょう。

これは、まともにやろうとすると数理統計や時系列モデルの話をしなければならなく、ちょっとややこしくなるので、例をあげて説明します。

ここに、毎日、必ず1%ずつ上昇する変わった性質を持つ為替レートがあったとします。初日にレートが100円とすれば翌日は101円、その次の日は102.01円、100日後は270円くらいになります。(複利計算が必要なので200円ではありません。)

この為替レートのリスクはどうなるでしょうか。毎日、為替レートの動きは確定しているので、リスクは0と計算されるのが都合が良いでしょう。

初日のレートを100円として100日間で計算して見ましょう。

「為替レートの変化率の標準偏差」では常に変化率が一定なので0と計算されます。リスクは0と都合の良い結果が出ました。

一方、

「為替レートの標準偏差」では、0ではなく約50円と計算されてしまいます。パーセント換算すれば日次で50%となり、むちゃくちゃリスクが高いことになってしまいます。これでは使い物になりません。
(銀行預金ですら、リスクを持つことになりますね。)

つまり、レートから計算した標準偏差は、レートが規則的な動きをしていたとしても、レートの値自体が変化すれば、大きな値を持ってしまうのです。

と言うわけでリスクとしては、
「為替レートの変化率の標準偏差」を使うのがよさそうです。

実際、プロの投資家では、変化率の標準偏差を使うことが常識です。

(上記の話はあくまでも簡略な説明です。統計に詳しい人。突っ込まないでください。)

続きます。


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スワップ派のための相関係数 その1

前回までのスワップ派の考え方の続きとして読んでください。相関係数についての説明です。

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相関係数は、数学的な概念なので数式が使えれば一瞬で説明が終わってしまうのですが、文章で説明するとかなり困難です。

このブログでは、かなりわかりやすく説明したつもりですが、やはり、私の力量が不足しているのか、わかり辛いとのご指摘を受けることがあります。

そこで、相関係数を別の切り口から説明してみます。

投資家にとって「リスク」とは何か?と、根本に立ち返って考えます。
それは、

「損失をするかもしれない。」

と言うことになります。重要なのは「損失」ではなく「かもしれない」と言う部分です。

「損失するに決まっている。」ならばそんな投資をするはずが無いので、リスクとは言えません。逆に、奇妙な投資家がいて「どうしても損失をしたい。」ならば、利益が上がることがリスクになってしまいます。

つまり、投資した結果が「あらかじめわからない」ことをリスクと見なすことが、自然な考え方と言えるでしょう。

次に、リスクをどうやって測るか、の段階になります。
これは、決まったやり方があるわけではなく、投資家によって都合の良い方法を使えばよいのです。

たとえば、短期トレーダーにとっては、指標のサインが、あらかじめ当たるか外れるかわからないので、当たり外れやその損益の比率をリスクをあらわす数値であると考える方が都合がよさそうです。
そこから、プロフィットファクターのような考え方も出てきます。

仮に、トレードしている資産の標準偏差をリスクとして考えるならば、頓珍漢なことになってしまいます。そもそも、短期トレーダーにとっては、資産は変動しなければ利益を上げることはできません。

資産の変動、つまり、標準偏差がある程度あってこそのトレードであり、標準偏差がほとんど0である銀行預金でトレードする人はいないでしょう。

スワップ派にとっては、何をリスクとすればよいのでしょうか。
当然、スワップがリスクになることはありません。投資する前にほぼ確定しているからです。
確定していないものは将来の為替レートになります。

為替レートは変動しており、どのように動くかはあらかじめわかりません。それならば、その変動の大きさをリスクと捕らえることが、自然な発想となります。

そして、その変動の大きさを表すときに「標準偏差」という非常に便利な統計学の考え方を借りてきているのです。「標準偏差」でなければいけない、と言うことではありません。

別の考え方を使っても一向に差し支えないのです。便利なので標準偏差をリスクの尺度として使っているだけです。

つづきます。

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スワップ派の考え方 その4

次のステップです。
「スワップ派は、どのような手法を使って投資をするのが適切か」

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スワップ派は、シャープレシオが大きくなるような投資をすべきです。では、どのように手法を使えばシャープレシオを大きくできるのでしょうか。

まずは、多くの通貨ペアのシャープレシオを調べて、大きなシャープレシオを持つ通貨ペアに投資をする方法があります。

もうひとつ、かなり有効な手法があります。分散投資、つまり、ポートフォリオを組むことによってシャープレシオを高める方法です。

ポートフォリオを組むとなぜ、シャープレシオが高まるのか。それは、標準偏差の性質をうまく利用できるからです。先ほどの通貨ペアAとBの例で説明します。

AとBを50%ずつ組み合わせたポートフォリオとします。
まず、ポートフォリオのリターンですが、これは単純に6%と10%の平均で8%となります。

では、リスクはどうなるのでしょう。10%と20%の平均で15%になるのでしょうか。

実は、ポートフォリオのリスクは5%?15%のどれかの数値になります。この数値を決める鍵となるものが、2つの為替レートの連動性です。

連動性が低いほどポートフォリオのリスクは低くなりますし、連動性が高いほど、ポートフォリオのリスクは高くなります。

連動性も数値化することが可能で、相関係数と言われます。相関係数も標準偏差と同様に過去の為替レートの変化率から、比較的簡単に計算可能です。

(しばしば、為替レートの価格から相関係数を計算する方法が紹介されているのを見かけますが、ポートフォリオのリスク計算に用いる場合には、為替レートの変化率から相関係数を求める必要があります。)

いったん、相関係数が求められれば、ポートフォリオの標準偏差は簡単に計算することができます。

さて、ポートフォリオのシャープレシオはどうなるでしょうか。ポートフォリオのリスクが5%のときは1.6、リスクが15%のときは0.53となりますので、0.53?1.6の値をとることになります。

もし、AとBの連動性が低くポートフォリオのリスクが低く抑えられたならば、AやBに単独で投資した時にくらべて、シャープレシオを高くすることができます。

さらに、もう一段シャープレシオを高めることもできます。ポートフォリオの各通貨ペアの組入れ比率を調整することによって、シャープレシオがもっとも高くなる組入れ比率を探しだすのです。

結局、スワップ派がポートフォリオを組む作業は、シャープレシオがもっとも高くなるように、数多くの通貨ペアの中から組入れ通貨ペアを探し出して、さらに、それらの組入れ比率を決める、というかなり複雑で大変な作業をする必要があるわけです。

投資家がこれらの作業をやることは、何らかのツールがないとかなり困難です。
そこで、このブログでは、ポートフォリオのリスク計算や分析を簡単に行うことができる、「FXリスク分析ツール」をコストフリーで公開しています。

このツールを使いこなすことによって、個人投資家でも、比較的簡単にシャープレシオの高いポートフォリオを作ることができるようになります。


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スワップ派の考え方 その3

これで、リターンとリスクの求め方がわかりました。それでは、このリターンとリスクを使うことによってスワップ派にとって魅力のある投資対象とは何かを考えて見ましょう。

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例を上げてみます説明します。

通貨ペアAは、スワップが6%、標準偏差が10%
通貨ペアBは、スワップが10%、標準偏差が20%

とします。AとBのどちらかに投資をするならば、スワップ派にとってはどちらが有利でしょうか?
スワップの高いBでしょうか。
答えはAに投資したほうが良い。
となります。

なぜならば、通貨ペアAは通貨ペアBのちょうど半分の標準偏差を持っています。そのため、Aを2単位投資すると、ちょうどBを1単位投資するのと同じリスクだけを負うことになります。

このとき、スワップは2倍もらえますので、Bと同じリスクを負うならば、Aは実質的に12%の利回りがあることになります。

ここで、投資の魅力度を
リターン÷リスク
と決めてやり、この数値が大きい投資対象ほど有利な投資であるとすれば、通貨ペア間の比較は簡単にできることになります。

AとBの場合でいえば、
Aでは6%÷10%=0.6
Bでは10%÷20%=0.5
となり、Aに投資したほうが良いという結果が求まります。

この投資魅力度の考え方を「シャープレシオ」といいます。
(通常シャープレシオの定義は分子をリターン‐短期金利としますが、為替証拠金取引の場合は短期金利の項は必要ありません。)

「スワップ派はどのような考え方に基づいて投資をすべきなのか」
の答えがでました。

「シャープレシオという考え方に基づいて投資をすべきである。」
となります。

実戦では、もう少しいろいろなことを考慮すべきですが、まず、この基本を押さえることが最重要です。

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スワップ派の考え方 その2

スワップ派のFX投資には2つの面があります。

良い面(リターン):高い金利を期待できる
悪い面(リスク):為替変動で損をするかもしれない


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この2つの点がわかれば、
「スワップ派はどのような考え方に基づいて投資をすべきなのか」を答える方針が見えてきます。

良い面を多く、悪い面を少なくする投資を目指す、つまり、
「できるだけ金利は高く、為替変動は少なく」
なるような投資を目標とすればよいのです。

リターン側の金利を高くすることは簡単です。
金利の高い通貨を買えばよいわけです。

一方、
リスク側の為替変動を少なくすることは、簡単ではありません。
リスクの大きさを計測するにはそうすればよいのか、と言う事からして、かなり難しい問題になります。

しかし、
幸いなことに投資理論の世界では、リスクの第一近似として確立した考え方があり、それは、
リスク=「資産変化率の標準偏差」 
(*ここでは、資産変化率=為替レートの変化率)
とすることです。

いくら理論が良くとも現実に合わなければ実用性がないのですが、この考え方は、プロの投資家の世界でも広く受け入れられている、実用性の高い便利な考え方です。

そして、いったんリスクをいう掴み所のないものを、標準偏差という非常に分かりやすい考え方に移行させてしまえば、あとは、どうやれば標準偏差を小さくできるかという、単純な数学の問題となってしまいます。

標準偏差といっても、よく分からない人も多いと思いますが、予測できない変動の大きさを測る数値と考えてください。標準偏差の数値の大きさ=リスクの大きさです。

つぎに、どうやって標準偏差を求めるか、という課題があります。
リターン側は、各通貨の短期金利差に基づいて業者が発表している通貨ペアのスワップポイントから簡単に求めることが可能です。

ところが、標準偏差は各国が政策金利のような発表しているわけでないため、スワップ金利のように明確な数値を手に入れることはできません。

結局、標準偏差は投資家が自ら推定するしかありません。それも、今後の推定という厄介なことをやる必要があります。

幸いなことに、為替レートの変化率の標準偏差の値は、過去の値で比較的良く将来の値を説明できるという都合の良い性質があります。

たとえば、EURCHFの過去の標準偏差は小さいので今後も標準偏差は小さいと予想できますし、NZDJPYはその反対に過去の標準偏差は大きく、今後も標準偏差は大きいだろうと予想できます。

つまり、過去の為替レートの変化率のデータから標準偏差をもとめ、これをその為替レートの将来のリスク推定値とすればよいわけです。

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結論から先に書きますと、リスクの大きさが変化する場合には、リターン分布はすその厚い分布となります。

つまり、分布のはなしその4で書いたように、正規分布と比較して、極端な値の出現する回数が多くなるのです。

たとえば、ある資産の100日間のリターン分布の前半の50日間は標準偏差1%の正規分布、後半の50日は標準偏差2%の正規分布とします。

このとき、100日間全体での標準偏差は約1.58%位になります。ところが、100日間トータルで見ると、リターンの分布は正規分布ではなくなり、すその厚い分布となります。

20080426-1
(クリックで拡大)

上の図は、標準偏差1%と2%の正規分布です。この2つの分布を合成すると下の図の青い線の分布となります。下の図の赤い線は標準偏差を同じ値とした正規分布です。

図では、ちょっと分りにくいのですが、青い線の合成分布は赤い線の正規分布よりもすその厚い分布となっています。

20080426-2
(クリックで拡大)

このことから、実際の資産のリターン分布を調べてみて、それがすその厚い分布をしている場合には、リターンの標準偏差は一定ではなく、時期によってその大きさが変化していることが、その原因と考えてみることもできます。

とすれば、指数加重移動平均のように、標準偏差の変化にすばやく反応するリスク推定法を使うことによって、リターン系列がすその厚い分布を持つ資産のリスク管理をより正確に行うことができるようになります。

今回のは、ちょっと難しい話題でした。


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注) 資産のリターン系列がすその厚い分布になるのは、リスクが変化することが理由のひとつと思われますが、それがすべてではありません。どうして、そのような分布になるのかは、その理由は、完全には分っていません。
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指数加重標準偏差

突然ですが、テクニカル指標の移動平均の計算方法をご存知でしょうか。

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25日移動平均ですと、直近の25日間の価格の単純平均値を計算しますね。
式で書くと
20080417-2
です。

この計算式を良く見ると、平均を計算するときにすべてのデータの重み付けが同じとなっています。単純と言われる所以ですが、25日前も当日も同じ重み付けをしています。

この計算方法ですと、直近で大きく価格が動いたときには、移動平均が価格について行けずに指標として利用できない状態になってしまうことがあります。

といって、移動平均の計算期間を短くすれば、今度は価格にべったりとくっ付いてしまって役立ちません。

つまり単純移動平均では、ある程度の日数の計算期間を取る必要がありますが、価格が急激に変動したときには、利用できないという欠点があります。

移動平均の計算期間は長く取りながら、価格の急激な変化にもついてゆけるような移動平均があれば、便利だと思いませんか。

そのようなニーズから考えられた移動平均が、加重移動平均や指数加重移動平均です。

単純移動平均が、計算期間のすべての価格に対して同じウエイトで平均値を計算しているのに対して、これらの加重移動平均は、現時点に近い価格ほどウエイトを大きくして計算をする方式です。

この結果、計算期間の長い移動平均の性質を持ちながら、大きな価格変動にも機敏に反応するという、都合の良い性質を移動平均に持たせることができます。

加重移動平均や指数加重移動平均の具体的な計算方法については、ネット上やテクニカル分析の本で調べてください。

さて、私たちの興味のある話題はリスクの計算方法でした。

ここでなぜ、移動平均の話をここで持ち出したかといいますと、加重移動平均や指数加重移動平均の考え方を標準偏差の計算方法にも応用できないか、と、筆者はひらめいたからです。

長期間のデータを使って安定的な標準偏差を計算しながら、急激なリスクの上昇にも速やかに反応するリスク指標!なんとすばらしいのでしょうか。

早速特許を、と言いたいところですが、実は、指数加重標準偏差はプロのリスク管理では当たり前のように使われています。筆者のオリジナルアイデアではありません。

(ちょっと余談ですが、何にかしらアイデアが浮かんだときには、10のうち8は使い物にならない、残る2つのうち1つは誰かがすでにやっている、最後の1つがオリジナルで少しは役立つ、というくらいですね。)

ただし、個人投資家の世界では、まったくといってよいほど知られていません。

ということで、早速、指数加重標準偏差を計算してみましょう。下図を見てください。
指数加重標準偏差
(クリックで拡大)

赤い線が単純標準偏差(100日)、緑の線が指数加重標準偏差です。見やすくするために、標準偏差の値は5倍してあります。

指数加重標準偏差は単純標準偏差と比較するとリスクが増大する局面において、すばやく反応することが分ります。特に2007年8月をみると顕著にわかります。

また、リスクがあまり変化しない時期には、単純標準偏差と同じように安定的に推移しています。
この特徴はリスク管理をする上で、かなり都合の良い性質です。

指数加重標準偏差は、リスク変化が変化すればすばやく反応するが、リスクが安定している時期には不要な動きは少なくなります。

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リスクの変化

少し時間が空きましたが、リスク管理 ヒストリカル法の続きです。

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前回は、単一の通貨ペアでのヒストリカル法を説明しました。ポートフォリオではどうすれば良いのでしょうか。

共分散行列をうまく使うと計算できるのでしょうか?
残念ですが、これはちょっとうまく行きません。

結局、ポートフォリオのリターン系列から分布関数をつくって、単一の通貨ペアでやったように推定します。実際、そのようにしてリスク管理をする場合もあります。

ポートフォリオでもやはりファットテールの性質はありますので、興味のある人はエクセル等で計算してみてください。 
ポートフォリオのリターンを計算するを参照してください。

さて、別の対策を考えて見ましょう。下図を見てください。
20080415-1
(クリックで拡大)

青い棒グラフはNZDJPYの日次リターングラフです。また、茶色の線は100日間の標準偏差の推移です。分りやすいように、0を対象にして‐1をかけた線も書いてあります。

標準偏差の推移、つまり、リスクの推移をみてみると、かなり変化していることがわかります。2005年ころは、比較的低い値でしたが、2006年には少し高くなり2007年に後半には、かなり高い値に跳ね上がっています。

日次で計算したリスクが高いとは、日次リターンが大きい日、つまり青い棒グラフが長い日が頻繁に発生することです。

グラフを見ると良く分るのですが、2005年と2007年を比較すると、明らかに2007年のほうが、日次リターンが大きくなっています。(棒グラフが長い)

ここから分ることは、

リスクは時間が経つと変化し、時期によって異なる。

リスクが低ければ、しばらくは低い状態が続く。
リスクが高ければ、しばらくは高い状態が続く。


という性質がリスクにはあります。

さらに、リスクの低い時期から高い時期に、いつ変化するかは予測がつきません。

サブプライムのようなことが発生すると、突然、リスクが高い時期に移行します。
また、リスクが高い時期から低い時期へは、徐々に移行する傾向があります。

下図は、前図から標準偏差のグラフだけを表示したものです。上記の傾向が見て取れると思います。
20080415-2
(クリックで拡大)

では、これらのリスクの性質が分ったとして、どのような対策を取ればよいのでしょうか。

続きます。

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スワップ派のための相関係数 その4

ポートフォリオのリスク計測では、「ポートフォリオのポジション額の変化率の標準偏差」とすることが、わかりました。

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では、簡単に式展開の概略を説明します。

AとBの2つの通貨ペアのポートフォリオのポジション額の変化率の標準偏差は、
「Aのレートの変化率の標準偏差」
「Bのレートの変化率の標準偏差」
「AのレートとBのレートの変化率の相関係数」
「Aのウエイト」
「Bのウエイト」
の5つの値から計算することが可能です。

一方、
ポートフォリオのポジション額の標準偏差の計算をしたいのであれば、
「Aレートの標準偏差」
「Bのレートの標準偏差」
「AとBのレートの相関係数」
「Aのウエイト」
「Bのウエイト」
で計算できます。

よく紹介されているのが、相関係数だけレートとなっていて、
「Aのレートの変化率の標準偏差」
「Bのレートの変化率の標準偏差」
「AとBのレートの相関係数」
「Aのウエイト」
「Bのウエイト」
で計算するようにしているものです。さすがに、これは無茶苦茶としか言いようがありません。


私としては、ポートフォリオのリスク計算から離れて、単純に2つの為替ペアの関係を見るために「レートから計算した相関係数」を使うこと自体を否定してはいません。

なんらかの参考になるかもしれません。

ただ、レートから計算した相関係数はあまりにも不安定で信頼性に欠けるので、参考情報としても使うことも、あまりお勧めできません。
詳しくは、
正しい相関と誤った相関 その具体例を参考としてください。

リスク分析のために使う相関係数の計算を資産変化率の系列から求めるのは、プロの世界では常識です。

個人投資家の為替の世界だけが、なぜか「為替レート(価格)から計算した相関係数」がよく紹介されています。どうしてこんなことになっているのか、ちょっと不思議に思っています。


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スワップ派のための相関係数 その3

単独での通貨ペアの場合のリスクの計測方法はきまりました。

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では、複数の通貨ペアが含まれているポートフォリオの場合は、どのようにリスクを計算すればよいのでしょう。

単独の通貨ペアの場合と同様に考えて、
「ポートフォリオのポジション額の変化率の標準偏差」をリスクとすればよいでしょう。

「ポートフォリオのポジション額の標準偏差」では、「為替レートの標準偏差」のときと同じ問題が発生してしまいます。

次に、「ポートフォリオのポジション額の変化率の標準偏差」はどうやって計算するか、を考えなければいけません。

ここで、ようやく相関係数が登場します。
計算の途中段階に相関係数という項が出てくるのです。

つまり、
「ポートフォリオのポジション額の変化率の標準偏差」を計算する過程で出てくる相関係数の項はどのように計算されているか、を調べてみれば
「変化率の相関係数」と「レートの相関係数」のどちらを使うべきかは、明確にわかります。

相関係数というものが前面に出てきて
「レート変化率の相関係数」と「レートの相関係数」のどちらを使うのが良いのかと考えるのではなく、

ポートフォリオのリスクをどのように計算するかが決まってしまえば、自動的に相関係数の計算方法も決まってしまうのです。

そして、その計算方法は「為替レートの変化率の相関係数」となります。
(ここでは、式展開は省略します。)
これが、レートの変化率の相関係数を使う理由です。

詳しくは、
ブログのメニューの相関係数関連の部分を読んでください。

続きます。

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スワップ派のための相関係数 その2

標準偏差をリスク計測の道具として使うと決めるとします。どうやって、標準偏差を計算すればよいのでしょうか。

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為替の場合、通常、過去データから
「為替レートの変化率(リターン)の標準偏差」を使います。

これは、他の方もそうしています。実際、これで良いのですが、では、どうして「為替レートの変化率」で標準偏差を計算するのでしょうか。
「為替レート」の標準偏差では間違っているのでしょうか。

これは実は極めて重要なことになります。

「為替レートの変化率の標準偏差」
「為替レートの標準偏差」


どちらが、スワップ派がリスクとして使うのに都合がよいのでしょう。

これは、まともにやろうとすると数理統計や時系列モデルの話をしなければならなく、ちょっとややこしくなるので、例をあげて説明します。

ここに、毎日、必ず1%ずつ上昇する変わった性質を持つ為替レートがあったとします。初日にレートが100円とすれば翌日は101円、その次の日は102.01円、100日後は270円くらいになります。(複利計算が必要なので200円ではありません。)

この為替レートのリスクはどうなるでしょうか。毎日、為替レートの動きは確定しているので、リスクは0と計算されるのが都合が良いでしょう。

初日のレートを100円として100日間で計算して見ましょう。

「為替レートの変化率の標準偏差」では常に変化率が一定なので0と計算されます。リスクは0と都合の良い結果が出ました。

一方、

「為替レートの標準偏差」では、0ではなく約50円と計算されてしまいます。パーセント換算すれば日次で50%となり、むちゃくちゃリスクが高いことになってしまいます。これでは使い物になりません。
(銀行預金ですら、リスクを持つことになりますね。)

つまり、レートから計算した標準偏差は、レートが規則的な動きをしていたとしても、レートの値自体が変化すれば、大きな値を持ってしまうのです。

と言うわけでリスクとしては、
「為替レートの変化率の標準偏差」を使うのがよさそうです。

実際、プロの投資家では、変化率の標準偏差を使うことが常識です。

(上記の話はあくまでも簡略な説明です。統計に詳しい人。突っ込まないでください。)

続きます。


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スワップ派のための相関係数 その1

前回までのスワップ派の考え方の続きとして読んでください。相関係数についての説明です。

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相関係数は、数学的な概念なので数式が使えれば一瞬で説明が終わってしまうのですが、文章で説明するとかなり困難です。

このブログでは、かなりわかりやすく説明したつもりですが、やはり、私の力量が不足しているのか、わかり辛いとのご指摘を受けることがあります。

そこで、相関係数を別の切り口から説明してみます。

投資家にとって「リスク」とは何か?と、根本に立ち返って考えます。
それは、

「損失をするかもしれない。」

と言うことになります。重要なのは「損失」ではなく「かもしれない」と言う部分です。

「損失するに決まっている。」ならばそんな投資をするはずが無いので、リスクとは言えません。逆に、奇妙な投資家がいて「どうしても損失をしたい。」ならば、利益が上がることがリスクになってしまいます。

つまり、投資した結果が「あらかじめわからない」ことをリスクと見なすことが、自然な考え方と言えるでしょう。

次に、リスクをどうやって測るか、の段階になります。
これは、決まったやり方があるわけではなく、投資家によって都合の良い方法を使えばよいのです。

たとえば、短期トレーダーにとっては、指標のサインが、あらかじめ当たるか外れるかわからないので、当たり外れやその損益の比率をリスクをあらわす数値であると考える方が都合がよさそうです。
そこから、プロフィットファクターのような考え方も出てきます。

仮に、トレードしている資産の標準偏差をリスクとして考えるならば、頓珍漢なことになってしまいます。そもそも、短期トレーダーにとっては、資産は変動しなければ利益を上げることはできません。

資産の変動、つまり、標準偏差がある程度あってこそのトレードであり、標準偏差がほとんど0である銀行預金でトレードする人はいないでしょう。

スワップ派にとっては、何をリスクとすればよいのでしょうか。
当然、スワップがリスクになることはありません。投資する前にほぼ確定しているからです。
確定していないものは将来の為替レートになります。

為替レートは変動しており、どのように動くかはあらかじめわかりません。それならば、その変動の大きさをリスクと捕らえることが、自然な発想となります。

そして、その変動の大きさを表すときに「標準偏差」という非常に便利な統計学の考え方を借りてきているのです。「標準偏差」でなければいけない、と言うことではありません。

別の考え方を使っても一向に差し支えないのです。便利なので標準偏差をリスクの尺度として使っているだけです。

つづきます。

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スワップ派の考え方 その4

次のステップです。
「スワップ派は、どのような手法を使って投資をするのが適切か」

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スワップ派は、シャープレシオが大きくなるような投資をすべきです。では、どのように手法を使えばシャープレシオを大きくできるのでしょうか。

まずは、多くの通貨ペアのシャープレシオを調べて、大きなシャープレシオを持つ通貨ペアに投資をする方法があります。

もうひとつ、かなり有効な手法があります。分散投資、つまり、ポートフォリオを組むことによってシャープレシオを高める方法です。

ポートフォリオを組むとなぜ、シャープレシオが高まるのか。それは、標準偏差の性質をうまく利用できるからです。先ほどの通貨ペアAとBの例で説明します。

AとBを50%ずつ組み合わせたポートフォリオとします。
まず、ポートフォリオのリターンですが、これは単純に6%と10%の平均で8%となります。

では、リスクはどうなるのでしょう。10%と20%の平均で15%になるのでしょうか。

実は、ポートフォリオのリスクは5%?15%のどれかの数値になります。この数値を決める鍵となるものが、2つの為替レートの連動性です。

連動性が低いほどポートフォリオのリスクは低くなりますし、連動性が高いほど、ポートフォリオのリスクは高くなります。

連動性も数値化することが可能で、相関係数と言われます。相関係数も標準偏差と同様に過去の為替レートの変化率から、比較的簡単に計算可能です。

(しばしば、為替レートの価格から相関係数を計算する方法が紹介されているのを見かけますが、ポートフォリオのリスク計算に用いる場合には、為替レートの変化率から相関係数を求める必要があります。)

いったん、相関係数が求められれば、ポートフォリオの標準偏差は簡単に計算することができます。

さて、ポートフォリオのシャープレシオはどうなるでしょうか。ポートフォリオのリスクが5%のときは1.6、リスクが15%のときは0.53となりますので、0.53?1.6の値をとることになります。

もし、AとBの連動性が低くポートフォリオのリスクが低く抑えられたならば、AやBに単独で投資した時にくらべて、シャープレシオを高くすることができます。

さらに、もう一段シャープレシオを高めることもできます。ポートフォリオの各通貨ペアの組入れ比率を調整することによって、シャープレシオがもっとも高くなる組入れ比率を探しだすのです。

結局、スワップ派がポートフォリオを組む作業は、シャープレシオがもっとも高くなるように、数多くの通貨ペアの中から組入れ通貨ペアを探し出して、さらに、それらの組入れ比率を決める、というかなり複雑で大変な作業をする必要があるわけです。

投資家がこれらの作業をやることは、何らかのツールがないとかなり困難です。
そこで、このブログでは、ポートフォリオのリスク計算や分析を簡単に行うことができる、「FXリスク分析ツール」をコストフリーで公開しています。

このツールを使いこなすことによって、個人投資家でも、比較的簡単にシャープレシオの高いポートフォリオを作ることができるようになります。


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スワップ派の考え方 その3

これで、リターンとリスクの求め方がわかりました。それでは、このリターンとリスクを使うことによってスワップ派にとって魅力のある投資対象とは何かを考えて見ましょう。

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例を上げてみます説明します。

通貨ペアAは、スワップが6%、標準偏差が10%
通貨ペアBは、スワップが10%、標準偏差が20%

とします。AとBのどちらかに投資をするならば、スワップ派にとってはどちらが有利でしょうか?
スワップの高いBでしょうか。
答えはAに投資したほうが良い。
となります。

なぜならば、通貨ペアAは通貨ペアBのちょうど半分の標準偏差を持っています。そのため、Aを2単位投資すると、ちょうどBを1単位投資するのと同じリスクだけを負うことになります。

このとき、スワップは2倍もらえますので、Bと同じリスクを負うならば、Aは実質的に12%の利回りがあることになります。

ここで、投資の魅力度を
リターン÷リスク
と決めてやり、この数値が大きい投資対象ほど有利な投資であるとすれば、通貨ペア間の比較は簡単にできることになります。

AとBの場合でいえば、
Aでは6%÷10%=0.6
Bでは10%÷20%=0.5
となり、Aに投資したほうが良いという結果が求まります。

この投資魅力度の考え方を「シャープレシオ」といいます。
(通常シャープレシオの定義は分子をリターン‐短期金利としますが、為替証拠金取引の場合は短期金利の項は必要ありません。)

「スワップ派はどのような考え方に基づいて投資をすべきなのか」
の答えがでました。

「シャープレシオという考え方に基づいて投資をすべきである。」
となります。

実戦では、もう少しいろいろなことを考慮すべきですが、まず、この基本を押さえることが最重要です。

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スワップ派の考え方 その2

スワップ派のFX投資には2つの面があります。

良い面(リターン):高い金利を期待できる
悪い面(リスク):為替変動で損をするかもしれない


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この2つの点がわかれば、
「スワップ派はどのような考え方に基づいて投資をすべきなのか」を答える方針が見えてきます。

良い面を多く、悪い面を少なくする投資を目指す、つまり、
「できるだけ金利は高く、為替変動は少なく」
なるような投資を目標とすればよいのです。

リターン側の金利を高くすることは簡単です。
金利の高い通貨を買えばよいわけです。

一方、
リスク側の為替変動を少なくすることは、簡単ではありません。
リスクの大きさを計測するにはそうすればよいのか、と言う事からして、かなり難しい問題になります。

しかし、
幸いなことに投資理論の世界では、リスクの第一近似として確立した考え方があり、それは、
リスク=「資産変化率の標準偏差」 
(*ここでは、資産変化率=為替レートの変化率)
とすることです。

いくら理論が良くとも現実に合わなければ実用性がないのですが、この考え方は、プロの投資家の世界でも広く受け入れられている、実用性の高い便利な考え方です。

そして、いったんリスクをいう掴み所のないものを、標準偏差という非常に分かりやすい考え方に移行させてしまえば、あとは、どうやれば標準偏差を小さくできるかという、単純な数学の問題となってしまいます。

標準偏差といっても、よく分からない人も多いと思いますが、予測できない変動の大きさを測る数値と考えてください。標準偏差の数値の大きさ=リスクの大きさです。

つぎに、どうやって標準偏差を求めるか、という課題があります。
リターン側は、各通貨の短期金利差に基づいて業者が発表している通貨ペアのスワップポイントから簡単に求めることが可能です。

ところが、標準偏差は各国が政策金利のような発表しているわけでないため、スワップ金利のように明確な数値を手に入れることはできません。

結局、標準偏差は投資家が自ら推定するしかありません。それも、今後の推定という厄介なことをやる必要があります。

幸いなことに、為替レートの変化率の標準偏差の値は、過去の値で比較的良く将来の値を説明できるという都合の良い性質があります。

たとえば、EURCHFの過去の標準偏差は小さいので今後も標準偏差は小さいと予想できますし、NZDJPYはその反対に過去の標準偏差は大きく、今後も標準偏差は大きいだろうと予想できます。

つまり、過去の為替レートの変化率のデータから標準偏差をもとめ、これをその為替レートの将来のリスク推定値とすればよいわけです。

続きます。

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