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簡単!多通貨ペアの相関行列の計算方法

分布のはなしは、ちょっと一休み。

人気のリスク分析ツールはここから

週末なので、たまにはExcelの使い方も書いてみようと思っています。

今回は相関行列の求め方です。この方法、誰でも知っていると思っていたのですが、ネットで調べてみたところ、ほとんど紹介されていないようです。
なぜでしょうか?

知らない人にとっては、びっくりするくらい簡単です。

以前、2ペア間の相関係数はCORREL関数を使えば、簡単に求めることができることを紹介しました。
相関を使ってポートフォリオの標準偏差を計算する

ただ、この方法だと通貨ペアの数が多くなると、とてもめんどくさくなります。

たとえば、7通貨ペアですと、21通りの組合せがありますのでCORRELを21回も使うことになり、シート上でやるのは、とっても大変です。

というわけで、とっても簡単にExcelで相関行列を計算する方法を紹介します。

まず、下準備です。メニューから[ルーツ]-[アドイン]を選択してください。

20080315-1
図をクリックで拡大

アドインの画面でますので、分析ツールにチェックをしてください。(分析ツールがない人は、Excelのインストールでアドインの分析ツールを使うように再設定をする必要があります。)もともと、チェックしてある人は、そのままでOKです。

20080315-2
図をクリックで拡大

次に、相関係数を計算したい通貨ペアのリターン系列を作成します。ここでは、くりっく365採用ペアの100日間の日次リターンでやってみましょう。

リターンデータは、B2:H101まで入っています。7列100行あります。

20080315-6
図をクリックで拡大

データが用意できましたら、メニューから[ツール]-[分析ツール]を選択してください。

20080315-3
図をクリックで拡大

データ分析の画面がでますので、相関を選択します。すると、相関の画面がでます。
この画面にデータの入力範囲と相関行列を出力する範囲をセットします。ここでは、図のようにセットしました。

20080315-4
図をクリックで拡大

OKボタンを押すと、相関行列ができました。

20080315-5
図をクリックで拡大

通貨ペア数が多くても、相関行列なんてExcelで簡単に計算できます。

筆者も、普段とりあえず相関係数行列を見てみたいときは、この方法を使っています。ただ、エクセルアプリに組み込んだりする場合は、VBAで直接プログラムを書きます。


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テーマ:FX(外国為替証拠金取引) - ジャンル:株式・投資・マネー


ボラティリティの増加と相関係数

サブプライムの影響で、通貨のボラティリティは増大しています。
また、リスク回避によるパニック的な相場状況では、通貨間の相関も高くなるために、分散効果も低減します。(これは、株式相場でも顕著に現れます。)

つまり、このような相場状況では、個別通貨のボラティリティ増加と相関係数の高まりの2つの効果が同時に発生するために、リスクコントロールされたポートフォリオでも、その影響を受けリスクがかなり増加します。

マーケットが落ち着くまで、レバレッジを低下させるなどのリスクコントロール対策が必要となるかもしれません。
(ロスチャイルドじゃありませんが、あえて、ポジションを増加させる手もあります。これが成功するとデカイですが、これはインカム狙いのスワップ派のやり方とは異なりますね。)

実際にボラティリティを相関係数がどのように変化するか見てみましょう。

スワップ派のためのFXポートフォリオ別館
”共分散・相関行列作成ツール”


を使って、実際の数値を比較します。

くりっく365採用の銘柄で
4年間で計算した値と直近半年間で計算した値です。

20080131-1
直近4年(1000日)で計算

20080131-2
直近半年(125日)で計算

4年間で計算した値と比較して半年間で計算した値は、標準偏差がかなり大きくなり、相関係数も高くなっています。

他の高金利通貨ではどうなっているか、興味のある人はツールをダウンロードして、いろいろと計算してみてください。

マーケットが通常の状態にもどるまで、直近半年間で計算したような標準偏差や相関係数の状態が続く可能性が高いので、リスクコントロールは慎重に行ってください。

スワップ狙いのFXポートフォリオで長期投資をするからといって、単純に長期のデータのみで計算するのではなく、そのときの相場状況を加味した数値使って、ポートフォリオリスクコントロールの調整が必要になることもあります。


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GARCHによる今年のUSDJPYボラティリティ

ボラティリティ推定の統計モデルであるGARCHで2007年のUSDJPYの日次リターンのボラティリティを推定しました。

GARCH(1,1)を使っています。また、パラメータ推定は1980年からのデータを用いています。
GARCHの詳しい解説は省略しますが、ボラティリティを最適なパラメータを用いた指数移動平均で計算しているようなものです。

以下結果です。比較のために260日の標準偏差も計算しています。

GARCH-USDJPY2007

グラフのボラティリティは日次リターンから計算された数値なので、年率換算する場合は約16倍してください。

GARCHモデルは翌期のボラティリティを推定するモデルなので、大きなリターンが発生するとかなり敏感に反応します。

8月のサブプライムあたりからボラティリティが高い状態を保っているのは、感覚には合っているようには思えます。これは、260日標準偏差と比較するとよくわかります。

2007年の推定ボラティリティ(年率換算)の範囲ですが
               最低    最高
GARCH(1,1)     6.8%  13.8%
STD260         7.3%   9.9%

となっており、GARCHでは最低と最高で2倍以上の差があります。対照的に260日STDではかなり安定しています。

GARCHによる推定ボラティリティの大きな変動は、オプションプライシングや短期的な売買判断には適していると思われますが、長期的なスワップ狙いの運用では、ちょっと使い辛い感じをうけます。

特に、最適化を使ってポートフォリオを組成する場合には、リバランスごとに売買量が多くなりすぎて、単純には使えるようには思えません。もう少し、長期的なボラティリティの傾向をつかむモデルが必要なのでしょう。

他の通貨でのGARCHの結果も見てみたと思う方はクリック
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マージンコールの発生確率 その2

では、計算してみましょう。
必要なパラメータは4つです。

•   確率を計算する期間
•   レバレッジ
•  スワップ金利
•  ポジションのボラティリティ

具体的なペアの方が面白いので、USDJPYとNZDJPYでやってみます。
ボラティリティは様々な計算手法がありますが、ここでは1年間の日次リターンの単純標準偏差の年率換算値とします。

USDJPYのボラティリティ

USDJPY=9.6%
NZDJPY=21.1%
となりました。

NZDJPYは、最近急激にボラティリティが上昇していますので、直近10年間での最高水準に位置しています。

スワップ金利は
USDJPY=4%
NZDJPY=7%
とします。

計算期間は3ヶ月としましょう。つまり、3ヶ月以内にマージンコールが起こる確率を計算することになります。

また、証拠金がどの水準になったらマージンコールが起こるか決める必要があります。業者によって異なりますが、ここでは、実質証拠金が0となった瞬間、つまり、含み損が証拠金と等しくなった瞬間にマージンコールが起こるとします。

この条件で、レバレッジを2倍から100倍まで変化させてみました。結果は下図です。

マージンコール確率

レートは上がるか下がるか、なので、どんなにレバレッジを大きくしてもマージンコール確率は最大50%だ。レバレッジ100倍で勝負!なんて思っていた人はいませんか?

やめましょう。

8?9割以上の確率で資金を失います。やるとしても1万円で宝くじくらいの感覚でやりましょう。

スワップ狙いなら、NZDJPYでは、レバレッジ3倍以上はやめたほうがよさそうです。ボラティリティが大きいので、レバレッジを少し上げただけで、マージンコールに引っかかる確率がかなり大きくなります。

USDJPYは、7倍くらいまでなら安全そうですね。


追記)
この記事では、評価期間を3ヶ月としていますが、もっと長期で保有する場合、各通貨のボラティリティが上昇した場合には、マージンコール確率は過小評価となる可能性がありますのでご注意ください。



訪問していただいてありがとうございます。
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マージンコールの発生確率 その1

時々、実用的な問題を話題に取り上げることにします。

普通、FX証拠金取引ではレバレッジを効かせていますので、株で言うところの追証、つまり、マージンコールの危険性が常に存在します。

リスク管理の観点からレバレッジは5倍以内に抑えましょう、などとしばしば書かれていますが、実際にはどのくらいのレバレッジが限界なのでしょうか。

それを判断するために、マージンコールが発生する確率が表示できたら便利です。たとえば、

「USDJPYをレバレッジ20倍とすれば、1ヶ月以内にマージンコールが発生する確率はXX%である。」

なんて言えたら便利だしカッコいいですね。というわけで、早速計算してみましょう。と、簡単に書きましたが、結構ややこしい話です。以下の仮定を置いてみます。

• ポジション価値は対数正規分布に従いボラティリティ一定
• ドリフトはスワップ金利として一定
(実はこの仮定、2つともそれなりに問題がありますが、ここでは、これでいいでしょう)

こうすれば、ノックアウトオプションを評価をする方法と同じような考え方で計算することができます。

要するに、ある期間内で一度でもマージンコールが発生する価格に到達する確率を計算することです。導出は結構面倒ですが、これを一発で計算できる式がちゃんと存在します。

ただし、リターンがすその厚い変な分布に従ったり、ボラティリティが変化したりすれば計算式がありませんので、モンテカルロシミュレーションを使って、CPUパワー全開でやる必要があります。

ちなみに、VaR(バリューアットリスク)の考え方ですと、期間の最終時点でのみ評価をします。そのため、マージンコール確率は過小に計算されてしまいますので注意してください。VaRの考え方では、下図の通貨ペアAにはマージンコールは発生しないことになります。
通貨ペアBの場合のみマージンコールが発生したみなしてしまいます。

マージンコール図


明日は、具体的な計算例を示してみます。

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週末なので、たまにはExcelの使い方も書いてみようと思っています。

今回は相関行列の求め方です。この方法、誰でも知っていると思っていたのですが、ネットで調べてみたところ、ほとんど紹介されていないようです。
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以前、2ペア間の相関係数はCORREL関数を使えば、簡単に求めることができることを紹介しました。
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ただ、この方法だと通貨ペアの数が多くなると、とてもめんどくさくなります。

たとえば、7通貨ペアですと、21通りの組合せがありますのでCORRELを21回も使うことになり、シート上でやるのは、とっても大変です。

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まず、下準備です。メニューから[ルーツ]-[アドイン]を選択してください。

20080315-1
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アドインの画面でますので、分析ツールにチェックをしてください。(分析ツールがない人は、Excelのインストールでアドインの分析ツールを使うように再設定をする必要があります。)もともと、チェックしてある人は、そのままでOKです。

20080315-2
図をクリックで拡大

次に、相関係数を計算したい通貨ペアのリターン系列を作成します。ここでは、くりっく365採用ペアの100日間の日次リターンでやってみましょう。

リターンデータは、B2:H101まで入っています。7列100行あります。

20080315-6
図をクリックで拡大

データが用意できましたら、メニューから[ツール]-[分析ツール]を選択してください。

20080315-3
図をクリックで拡大

データ分析の画面がでますので、相関を選択します。すると、相関の画面がでます。
この画面にデータの入力範囲と相関行列を出力する範囲をセットします。ここでは、図のようにセットしました。

20080315-4
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つまり、このような相場状況では、個別通貨のボラティリティ増加と相関係数の高まりの2つの効果が同時に発生するために、リスクコントロールされたポートフォリオでも、その影響を受けリスクがかなり増加します。

マーケットが落ち着くまで、レバレッジを低下させるなどのリスクコントロール対策が必要となるかもしれません。
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20080131-1
直近4年(1000日)で計算

20080131-2
直近半年(125日)で計算

4年間で計算した値と比較して半年間で計算した値は、標準偏差がかなり大きくなり、相関係数も高くなっています。

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GARCHによる今年のUSDJPYボラティリティ

ボラティリティ推定の統計モデルであるGARCHで2007年のUSDJPYの日次リターンのボラティリティを推定しました。

GARCH(1,1)を使っています。また、パラメータ推定は1980年からのデータを用いています。
GARCHの詳しい解説は省略しますが、ボラティリティを最適なパラメータを用いた指数移動平均で計算しているようなものです。

以下結果です。比較のために260日の標準偏差も計算しています。

GARCH-USDJPY2007

グラフのボラティリティは日次リターンから計算された数値なので、年率換算する場合は約16倍してください。

GARCHモデルは翌期のボラティリティを推定するモデルなので、大きなリターンが発生するとかなり敏感に反応します。

8月のサブプライムあたりからボラティリティが高い状態を保っているのは、感覚には合っているようには思えます。これは、260日標準偏差と比較するとよくわかります。

2007年の推定ボラティリティ(年率換算)の範囲ですが
               最低    最高
GARCH(1,1)     6.8%  13.8%
STD260         7.3%   9.9%

となっており、GARCHでは最低と最高で2倍以上の差があります。対照的に260日STDではかなり安定しています。

GARCHによる推定ボラティリティの大きな変動は、オプションプライシングや短期的な売買判断には適していると思われますが、長期的なスワップ狙いの運用では、ちょっと使い辛い感じをうけます。

特に、最適化を使ってポートフォリオを組成する場合には、リバランスごとに売買量が多くなりすぎて、単純には使えるようには思えません。もう少し、長期的なボラティリティの傾向をつかむモデルが必要なのでしょう。

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•   レバレッジ
•  スワップ金利
•  ポジションのボラティリティ

具体的なペアの方が面白いので、USDJPYとNZDJPYでやってみます。
ボラティリティは様々な計算手法がありますが、ここでは1年間の日次リターンの単純標準偏差の年率換算値とします。

USDJPYのボラティリティ

USDJPY=9.6%
NZDJPY=21.1%
となりました。

NZDJPYは、最近急激にボラティリティが上昇していますので、直近10年間での最高水準に位置しています。

スワップ金利は
USDJPY=4%
NZDJPY=7%
とします。

計算期間は3ヶ月としましょう。つまり、3ヶ月以内にマージンコールが起こる確率を計算することになります。

また、証拠金がどの水準になったらマージンコールが起こるか決める必要があります。業者によって異なりますが、ここでは、実質証拠金が0となった瞬間、つまり、含み損が証拠金と等しくなった瞬間にマージンコールが起こるとします。

この条件で、レバレッジを2倍から100倍まで変化させてみました。結果は下図です。

マージンコール確率

レートは上がるか下がるか、なので、どんなにレバレッジを大きくしてもマージンコール確率は最大50%だ。レバレッジ100倍で勝負!なんて思っていた人はいませんか?

やめましょう。

8?9割以上の確率で資金を失います。やるとしても1万円で宝くじくらいの感覚でやりましょう。

スワップ狙いなら、NZDJPYでは、レバレッジ3倍以上はやめたほうがよさそうです。ボラティリティが大きいので、レバレッジを少し上げただけで、マージンコールに引っかかる確率がかなり大きくなります。

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この記事では、評価期間を3ヶ月としていますが、もっと長期で保有する場合、各通貨のボラティリティが上昇した場合には、マージンコール確率は過小評価となる可能性がありますのでご注意ください。



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マージンコールの発生確率 その1

時々、実用的な問題を話題に取り上げることにします。

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それを判断するために、マージンコールが発生する確率が表示できたら便利です。たとえば、

「USDJPYをレバレッジ20倍とすれば、1ヶ月以内にマージンコールが発生する確率はXX%である。」

なんて言えたら便利だしカッコいいですね。というわけで、早速計算してみましょう。と、簡単に書きましたが、結構ややこしい話です。以下の仮定を置いてみます。

• ポジション価値は対数正規分布に従いボラティリティ一定
• ドリフトはスワップ金利として一定
(実はこの仮定、2つともそれなりに問題がありますが、ここでは、これでいいでしょう)

こうすれば、ノックアウトオプションを評価をする方法と同じような考え方で計算することができます。

要するに、ある期間内で一度でもマージンコールが発生する価格に到達する確率を計算することです。導出は結構面倒ですが、これを一発で計算できる式がちゃんと存在します。

ただし、リターンがすその厚い変な分布に従ったり、ボラティリティが変化したりすれば計算式がありませんので、モンテカルロシミュレーションを使って、CPUパワー全開でやる必要があります。

ちなみに、VaR(バリューアットリスク)の考え方ですと、期間の最終時点でのみ評価をします。そのため、マージンコール確率は過小に計算されてしまいますので注意してください。VaRの考え方では、下図の通貨ペアAにはマージンコールは発生しないことになります。
通貨ペアBの場合のみマージンコールが発生したみなしてしまいます。

マージンコール図


明日は、具体的な計算例を示してみます。

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