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FXでスワップ金利を低リスクで稼ぐための通貨ポートフォリオについてわかりやすく書きます。本業は、某社の現役クオンツです。 保有資格:日本証券アナリスト協会検定会員

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相関係数とは その4

相関係数について分かったことを整理しましょう。

・ポートフォリオの分散は、リターンの計算と違って単純に加重平均では計算できない。

・ただし、共分散を導入することによって計算することは可能。

・共分散は、各期の各通貨の互いのリターンの積の平均値となる。

・共分散を各リターンの標準偏差で割った値を相関係数という。その値は‐1?1の値をとる。

・相関係数は各リターンの標準偏差の大きさには影響されず、相対的な関係を表す。

・各リターンの標準偏差を一定とした場合、共分散の大きさは相関係数で決まる。つまり、ポ ートフォリオの分散は相関係数の値が異なると、異なる値をとる。

・相関係数はお互いのリターンが常に等しいときに最大値の1、常に反対(逆符号) のときに最小値の?1をとる。それ以外の場合は、‐1?1の間のさまざまな値をとる。(追記)

・相関係数は、各リターンが同じように動く傾向があるときはプラスの値、反対に動く傾向があるときは、マイナスの値をとる。

さて、相関係数の正体が見えてきました。

以上をまとめます。

 ポートフォリオの分散は、
 個別通貨ペアの分散と組入れウエイトが一定の場合でも
 リターンの相関係数の値が異なると、
 異なる値をとる。


いままで飛ばし読みした人も、これは覚えたほうがいいでしょう。正直、このまとめだけ覚えておけば、今までの式展開はどうでも良いことです。

次回は、実際にエクセルで計算してみましょう。


今年最後の記事になりました。
来年は入門編が終了した後、いよいよ実戦的なポートフォリオ構築まで踏み込んで解説をしたいと考えています。
良いお年をお迎えください。


(追記)
相関係数が1となる条件はもう少しゆるく
20071231-1
です。
また、相関係数が‐1となる条件は
20071231-2
です。

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相関係数とは その3

今回も数式が出てきます。めんどくさい人は読み飛ばしてもらっても平気です。
前回、最後に出てきた式の以下の部分のことを共分散といいσabと書きます。

20071230-9

分散の定義式とにていますね。r2の代わりのrabとしただけです。ra=rbとすれば、分散と同じになります。

つまり、分散とは、同じもの同士の共分散である、ということもできます。そして、この式はAとBの何らかの関係を表すと考えても良さそうです。

これから、この共分散の性質を調べてみましょう。と簡単に書きましたが、これを分かりやすく説明するのはかなり困難です。

ベクトルやらcosθやら使えると直感的な説明ができるのですが、数学が不得手の人には、ますます訳が分からなくなるだけで、どうにもなりません。

ここで数式をつかった説明を書いてみたのですが、あまり意味がなさそうなので省略します。

とりあえず、共分散と標準偏差との関係を先に書いておきます。(追記1)

20071230-2

共分散の絶対値は、互いの標準偏差の積よりも小さい値となります。そして、

20071230-3

つまり、共分散をそれぞれの標準偏差で割った値を相関係数と呼びます。

共分散は、raとrbの関係を表しますが、raやrbの標準偏差の大きさによって値が変化してしまいます。(標準偏差が大きいほど共分散も大きくなります。)

相関係数とは、共分散をそれぞれの標準偏差で割って、それらの大きさに左右されないようにした値です。つまり、raとrbの相対的な関係のみを表した数値と言えます。
たとえば、

20071230-7

となることがわかります。(この関係は共分散の定義式からすぐに導出できます。)

数値自体の読み方は、ほとんどの方はご存知なので簡単に書きますと、(追記2)
   ‐1    : 完全逆相関 raとrbは常に反比例関係が成り立っている。
    1    : 完全相関  raとrbは常に正比例関係が成り立っている。
    0    : 無相関    raとrbは無関係に変動する。
‐1<ρ<0 : 逆相関    raが大きいとrbは小さい傾向となる関係がある。
 0<ρ<1 : 順相関    raが大きいとrbも大きい傾向となる関係がある。

相関係数はグラフでプロットするとイメージできますので、近いうちにグラフの例をアップします。

2回ほど、数式ばかりでややこしかったのですが、途中はどうでもよいので、

20071230-5

だけ覚えておけば十分でしょう。
この式をつかって、後ほど実際にエクセルでポートフォリオのリスクを計算してみます。

次回からは、あまり数式がだらだら出てくることはありませんので、普段のペースに復帰できそうです。

次回に続きます。

(追記1)
20071230-8

(追記2)
完全相関は比例関係と書きましたが正確には線形関係です。
また、相関係数が0であるから2つの変数は無関係である、とは言えません。非線形関係等の相関係数では表せない何らかの関係がある場合があります。

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相関係数とは その2

ところで、巨人の星では、・・・この話は止めましょう。

前回、突然GARCHでのボラティリティ推定を書きました。実は、今回の記事をアップしようか迷っていまして、ピンチヒッターで入れみてました。が、あまり受けなかったようですね。

GARCH自体は、以前、別の資産のリスクモデルを構築していたときに検討したのですが、推定ボラティリティが激しく変動しすぎるので、結局、使うことはありませんでした。

意外な使い方としては、短期売買のテクニカル派の人が、指標のスイッチングにつかうと面白いかもしれません。

さて、本題に入ります。
今日も数式が出てきますが、とばしてもらってもOKです。実際、細かい数式は分からなくとも、結果の使い方を正しく認識していれば、利用者としては十分なのです。

ただ、ちょっとばかり今後の都合もあって、相関の導出を書いておく必要があるので、興味のある人だけお付き合い願います。

予備知識として、中学で習った公式

20071228-1

を復讐じゃなかった復習しておけば、以下の数式は追えるはずです。

ポートフォリオのリターンは

20071227-1

でした。これを2乗してみましょう。

20071228-2

うぅ、頭が割れそうだ、やめてくれ。と声が聞こえてきそうです。

この式、どこかで見たことありませんか。
前回書いた、ポートフォリオの分散の式

20071228-3

と似ています。rとσを交換すればそっくりです。ウエイトも2乗になっていますね。となると、調整項は

20071228-4

のような形になることが予想されます。これ、ほとんど正解なのですが、ちょっと違います。肝心なものが抜け落ちています。

数式ばかりで、わかりづらいかもしれませんが、もともと、相関係数は数学的な概念なので、どうしても言葉だけでは正確には説明し切れません。もうすこし、お付き合い願います。

何度も書きますが、分散の定義はリターンを2乗して平均をとりました。式で書くと
(以下 r の平均は0とします。)

20071228-5

となります。要するに、1期からT期までrの2乗を足し合わせてTで割った、つまり、平均を計算したという意味です。
ここで、先ほどの式

20071228-6


を分散の定義式に放り込んでみましょう。うじゃうじゃと項があって大変ですが、整理すればやさしくなります。結果はこうなります。

20071228-7

ついに、調整項の正体が明らかになりました。

20071228-8

式を追ってくれた人、お疲れ様です。ついにここまで来ました、もう一歩です。

式を書くほうも疲れます。はぁ。

次回に続きます。


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GARCHによる今年のUSDJPYボラティリティ

ボラティリティ推定の統計モデルであるGARCHで2007年のUSDJPYの日次リターンのボラティリティを推定しました。

GARCH(1,1)を使っています。また、パラメータ推定は1980年からのデータを用いています。
GARCHの詳しい解説は省略しますが、ボラティリティを最適なパラメータを用いた指数移動平均で計算しているようなものです。

以下結果です。比較のために260日の標準偏差も計算しています。

GARCH-USDJPY2007

グラフのボラティリティは日次リターンから計算された数値なので、年率換算する場合は約16倍してください。

GARCHモデルは翌期のボラティリティを推定するモデルなので、大きなリターンが発生するとかなり敏感に反応します。

8月のサブプライムあたりからボラティリティが高い状態を保っているのは、感覚には合っているようには思えます。これは、260日標準偏差と比較するとよくわかります。

2007年の推定ボラティリティ(年率換算)の範囲ですが
               最低    最高
GARCH(1,1)     6.8%  13.8%
STD260         7.3%   9.9%

となっており、GARCHでは最低と最高で2倍以上の差があります。対照的に260日STDではかなり安定しています。

GARCHによる推定ボラティリティの大きな変動は、オプションプライシングや短期的な売買判断には適していると思われますが、長期的なスワップ狙いの運用では、ちょっと使い辛い感じをうけます。

特に、最適化を使ってポートフォリオを組成する場合には、リバランスごとに売買量が多くなりすぎて、単純には使えるようには思えません。もう少し、長期的なボラティリティの傾向をつかむモデルが必要なのでしょう。

他の通貨でのGARCHの結果も見てみたと思う方はクリック
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相関係数とは 必要ないの? その1

昔、巨人の星というマンガがありましたね。TVアニメとしても放映していましたが、あるパターンがありました。

永遠とも思われる長い前置きの後、ついに星飛雄馬が花形満と大リーグボールかなにかの対決となり、飛雄馬が花形に大リーグボールを投げた瞬間に時間切れ、翌週に続くとなります。

一週間やきもきして、ようやく続きを見られると思ってTVの前で陣取ると、なぜか、沢村栄治物語とか星一徹の現役時代とか、全然関係ない話が唐突に放映されます。なんというすばらしい構成だろう、と拍手喝采を送りたくなりました。

前回の終わりに、次回はいよいよ最適化の話か!

と期待されていた人は、同じような気分を味わうかもしれません。最適化の話はまだ当分先になります。ただし、これからの話を理解しないと最適化のことは分かりません。

本題です。

「相関係数とは」とタイトルに書いてしまったので、その話をしなければなりません。ここで、相関係数とは‐1から1の間の値をとって、0は無相関、±1は完全相関といい・・・

などと説明しても無意味(とまでは言いませんが)です。こんな説明ならWikiを見れば十分でしょう。要するに、分かっている人は分かるし、分からん人は分からんという説明ですね。

(これからしばらく数式が出てきます。めんどくさい人は、読み飛ばしてください。)

で、相関係数を説明する前に、どうしても、分散や標準偏差の話に立ち戻って考える必要があります。ただ、少々、数式が出てきますので、ちょっとだけ我慢してください。Logとか積分とか偏微分とかのへんちょこりんな記号はでてきませんので。

ポートフォリオのリターンは加重平均で求めることができました。

20071227-1

でも、標準偏差はこんなに簡単にはいかないようです。ここで、新しい記号を導入します。σで標準偏差を表します。また、σの2乗は分散となります。この記号を使うと、

20071227-2
は、一般には成り立たない。

と書き表せます。(「一般には成り立たない」、とは常に成り立つわけではないと言う意味です。)

標準偏差は分散の平方根でしたので、一段階ほど分散よりも複雑な式となっています。そこで、しばらく分散で考えて見ましょう。

ポートフォリオの分散も個々のペアの分散の加重平均とは異なる値となります。そこで、ちょっとしたアイデアを導入しましょう。もし、何らかの調整項を導入して、

20071227-3

と表すことができれば、そして、調整項を容易に求めることができれば、ポートフォリオの分散が簡単に計算できることになります。

この調整項の正体はいったい何になるのでしょうか。

ところで、個別通貨ペアの分散の前のウエイトwが突然2乗になっているじゃないか。と気がついた人もいると思います。でも、適当に2乗をつけた訳ではありません。

ランダムさの尺度 その3で分散の計算をするときには、リターンを2乗するとしました。それゆえ、リターンの前にウエイトをつけた場合は、ウエイトも2乗されてしまいます。

ウエイト付きのリターンを仮にvとおけば、

20071227-4

です。

次回に続きます。

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ポートフォリオの標準偏差を計算する

今回はエクセルを使って、実際に2つの通貨ペアのポートフォリオの標準偏差を計算してみましょう。

毎度のことながら、スワップ派のためのFXポートフォリオ別館から、ポートフォリオの標準偏差(2007/12/26)をダウンロードしてください。

どこかで見たシートです。リターンの合成とほとんど同じです。ただ、少しだけ加えたところがあります。標準偏差が計算してあります。

以下、シートを見ながら読んでください。

D列、E列にはそれぞれUSDJPYとEURCHFのリターンが計算されていました。エクセル関数をつかって、これ等の標準偏差を計算します。

C5、C6にその結果が表示されているので確認してください。また、その隣のD5、D6には、分かりやすいように年率換算した値が入っています。

同じようにポートフォリオの標準偏差も簡単に計算できます。C7にI列の標準偏差を計算した値が入っています。これがポートフォリオの標準偏差です。

ポートフォリオのリターンが計算できれば、相関係数など使わなくとも簡単に計算できますね。

ここで、I5とI6を変更して保有ウエイトを変更してみてください。ポートフォリオの標準偏差と色々な値を持つことが分かります。

きっと、標準偏差が最小になるウエイトがあるんでしょうね。


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相関係数なんて使う必要が無い

相関係数を使わないで、ポートフォリオの標準偏差を求める。そんなことできるのか?と思われる人もいるかも知れません。

でも、

使わない方がよっぽど簡単に計算できます。
相関係数なんていらんのです、実際のところ。中途半端に分かった気になるくらいなら。

ところで、標準偏差はどうやって計算したか、覚えていますか。為替レートのリターンを計算して、その標準偏差を計算しました。標準偏差の計算方法を参照してください。

実際には、エクセル関数のSTDEVを使うと簡単に求めることができます。USDJPYもEURCHFも簡単に求められますね。では、2つのペアを合成したときの標準偏差は? 

ポートフォリオのリターンを計算するで、AペアとBペアのポートフォリオの実績リターンをエクセルで計算しました。そのシートでポートフォリオのリターンが既に計算されているのです。

それなら、そのポートフォリオのリターンの標準偏差を計算すればよいと思いませんか。

標準偏差の計算は、為替レートのリターンにだけにしか使えないわけではありません。そんなルールはどこにもありませんね。

だったら、リターンの系列があれば、何にだって標準偏差は計算できます。
つまり、

相関係数なんて使う必要が無い

との結論に至りました。

めでたしめでたし、、、このブログも終了。

ではありません。
次回に続きます。いよいよ実際に計算します。

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ポートフォリオの標準偏差

いよいよ標準偏差の合成、つまり、ポートフォリオの標準偏差を計算しましょう。これをやるために今まで延々と説明をして来たと言っても過言ではありません。

リターンと同様にまずは2銘柄で考えます。
Aペアの標準偏差を8%
Bペアの標準偏差を12%
とします。このとき、2つのペアを保有しているポートフォリオの標準偏差はどうなるでしょうか。

例えば、両ペアとも50%ずつ保有した場合です。リターンと同じように、ウエイトかけて足し合わせて、
ポートフォリオの標準偏差=0.5×8%+0.5×12%=10%
と簡単に計算できるのでしょうか。

などとわざわざ書いているので、そう簡単には行かないのは見え見えです。答えを最初に書いてしまうと、この場合、ポートフォリオの標準偏差は、2%?10%の間のどれかの数値になります。

この数字を決めるのは、
そうですね。勘のいい人はわかりますね。

相関係数です。

で、相関係数の初心者向けの説明を本やら何やらで読むと、分かったような分からないようなことが書いてありますが、ここではどうしましょう。

一知半解ほど投資の世界では危険なことはありません。よって、正攻法で行きます。
と言っても突然、相関係数の定義などと言って数式を並べたところで、ますます訳が分からなくなるのは目に見えています。

そのため、一旦、相関係数を使う方法を迂回してポートフォリオの標準偏差を求める方法をやりましょう。

次回に続きます。

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ポートフォリオのリターンを計算する

今日は、USDJPYとEURCHFを保有しているときのポートフォリオのリターンを実際にエクセルで計算します。

いつものように、スワップ派のためのFXポートフォリオ別館 から
 ポートフォリオのリターン(2007/12/23) をダウンロードしてください。


これ以下の記事は、エクセルシートを見ながら読まないと意味不明となります。

B列にUSDJPY、C列にEURCHFが入っています。D列、E列にはそれぞれに対応する日次リターンが計算されています。

リターンの計算方法が分からない人は、同じに見えるを参照してください。F列、G列をUSDJPYとEURCHFリターンを累積して指数化した値が入っています。

異なる為替レートの動きを比較するときに、レートの水準が異なっているとわかりづらいので、比較する期間の初日を100となるように調整します。これを指数化すると言います。このようにすれば、容易にそれぞれの動きを対比して見ることができるようになります。

I列にポートフォリオのリターンが計算されています。シートの計算式を見れば分かるように、それぞれのウエイトとリターンをかけた値を足し合わせています。

各通貨ペアのウエイトはI5とI6で変更することができます。Shortにしたい場合はマイナスの数値を入れてください。

また、ウエイトの合計値がI7に計算されますが、ここが100%となるように数値をセットしてください。100%以外の数値では、レバレッジをかけたことになります。

J列は合成したリターンの累積値です。これも指数化されていますので、元のレートと簡単に比較が可能です。

シート上のグラフを見てください。ポートフォリオのリターンは、丁度USDJPYとEURCHFの真ん中あたりです。

ここで注意していただきたいことがあります。
ウエイトを指定して合成する場合には、必ずリターンで合成してください。
レート値そのものや指数の値にウエイトをかけて足し合わせると間違った結果が得られてしまいます。

次回はいよいよポートフォリオの標準偏差について考えます。

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ポートフォリオの実績リターン

前回は期待リターンの合成をやりましたが、今回は実績リターン、つまり、2銘柄での過去のリターンの合成をします。やり方は同じです。ここでもレバレッジ1倍と固定して考えます。

ある日のAのリターンとBのリターンを合成したABのリターンは
20071221-1
となります。これは、常識的にわかります。

例をあげて説明しましょう。
Aペアは円換算で50円の評価額があります。
Bペアは100円の評価額があります。
ポートフォリオはAとBを両方とも1単位Longで組み込んでいます。
また、昨日、Aペアは2%上昇しました。Bペアは3%下落しました。

このときのAとBのポートフォリオのリターンの計算をすると
Wa=50円/(50円+100円) =0.3333 = 33.33 %
Wb=100円/(50円+100円) =0.6666 = 66.66 %
であるので、

ポートフォリオのリターン=0.3333×2% + 0.6666×(‐3%) = ‐1.333%

となります。

ここで、唯一、注意する必要があることは、ウエイトWは評価額で計算する必要があることです。上記の例では、両方とも同じ単位数を持っているから50%づつとしてしまっては、間違った答えとなってしまいます。

次に、ショートポジションが含まれている場合について考えます。2通りの考え方がありますので、両方とも理解してください。

1. リターンを調整する (前回の期待リターンのときと同じように考える)
Longポジションに対してShortポジションは、リターンが逆符号になります。合成リターンの計算では、ウエイトはすべてLongポジションで計算したときと同じにし、Shortポジションの通過に対しては、リターンをすべて逆符号とします。

2. ウエイトを調整する
リターンはそのままとして、ウエイトを逆符号とします。ただし、各通貨ペアのウエイトを計算するときの分母(=ポジション総額)を計算するときは、各通貨の評価金額に絶対値をつけてください。先ほどの例で、Bペアを1単位Shortしたときは
Wa=50円/(50円+100円) =0.3333 = 33.33 %
Wb=‐100円/(50円+|‐100円|) =0.6666 = ‐66.66 %
となります。

ポートフォリオのリターンは、どちらの方法で計算しても同じ値になることを確認してください。
今日は簡単でした。次回は、実際にエクセルで計算してみましょう。

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ポートフォリオの期待リターン

個別の通貨ペアでシャープレシオを計算した人はお分かりだと思いますが、1を超えるような通貨ペアは無かったと思います(ドルペッグは除く)。では、FX投資では1を超える投資はできないのでしょうか?

そんなことはありません。さて、その方法は、

相関がどうしたこうした。
ポートフォリオ理論がうんたらかんたら。

と、すぐには先に行かないことは、このブログをお読みになってきた人は予想がつきます。しつこく、外堀を埋めてゆきます。

では、通貨ペアを2つ組み合わせる場合から調べてみましょう。2通貨ペアのポートフォリオです。まず、リターンの合成からです。

Aペアの期待リターンは4%
Bペアの期待リターンは8%

です。AとBを両方保有すると、期待リターンは何%になるでしょう。
4%+8%=12% ?

どうも変です。通貨ペアを増やすと期待リターンも増えてしまいました。実は、証拠金ベースで考えればこのような考え方えも良いのですが、ポジションベース、つまり、レバレッジを1倍と固定したときでは違います。

レバレッジによって期待リターンが異なると訳が分からなくなるので、しばらくレバレッジ1倍で考えましょう。
組入れ比率という概念を導入します。

Aの組入れ比率(Wa)=Aの評価金額/ポジションの総金額
Bの組入れ比率(Wb)=Bの評価金額/ポジションの総金額
ポジションの総金額=Aの評価金額+Bの評価金額

とすれば、AとBの2ペアの場合は
Wa+Wb=1 (=100%)
の関係が成り立ちます。

このとき、

2銘柄の合成期待リターン=Wa×Aペアの期待リターン+Wb×Bペアの期待リターン

となります。各通過ペアの組入れ比率に期待リターンをかけて、それを足し合わせれば、合成の期待リターン(今後、ポートフォリオの期待リターン)が計算できます。

先ほどの例では
ポートフォリオの期待リターン=Wa×4%+Wb×8%
です。

たとえば、Aペア、Bペアが等比率ならば
ポートフォリオの期待リターンは0.5×4%+0.5×8%=6%
ですね。

分かりきったことを書くなと言われそうですが、とても重要なことです。後でポートフォリオの標準偏差が出てきますが、こんなに簡単にはいきません。

さて、たまには数式で書いてみましょう。数式と言うと毛嫌いする人も多いですが、要するに、日本語でだらだらと書くとめんどくさいので、簡略化しただけのことです。まあ、道路標識のようなものです。「駐停車禁止です。」と表示するより、「青地に赤丸×」と記号を書く方が簡単で見るほうも楽です。

期待リターンの合成を数式で書くと

E[rp]=waE[ra]+wbE[rb]
ただし、wa+wb=1

ここでE[r]はrの期待値、raはAのリターン、rbはBのリターン、rpはポートフォリオのリターンを表すという意味です。どうってことないですね。このような計算をウエイトで加重平均をすると言います。

ちょっと変形して

E[rp]=waE[ra]+(1-wa)E[rb]

と書くこともできます。要するにBのウエイトは100%からAのウエイトを引いたものだからです。

また、ショートポジションの場合は、ウエイトはそのままで期待値をマイナスにしてください。ショートポジションを取るとスワップ金利がマイナスになる通貨ペアを考えれば違和感はないと思います。

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シャープレシオ その5

まだシャープレシオだ、いい加減にしろ。と言われそうですが続けます。

ここまでで、ようやくシャープレシオの数値の意味が分かるための準備が整いました。
さて、SR=1とはどのような意味でしょう。この場合、標準偏差10%なので、期待リターンは10%となります。

つまり、T=100時点までにスワップ金利が10円もらえるわけですね。T=100でレートが90円以下になったら損失がでることになります。そのような確率は15%ですね。

なんで???

先ほどの推定から90円?110円の間に入る確率は70%でした。つまり、この範囲を外れる確率は30%です。さらに、分布は左右対称でしたので、上に外れる可能性も下に外れる可能性も等しくなります。

よって、下に外れる可能性、つまり90円以下になる確率は30%÷2=15%になります。
同様に、
SR=2ならば損失が発生する可能性は2.5%、SR=3ならばなんと0.15%!

これって、すごいことだと思いませんか。SR=3ではなくで、シャープレシオを使うと投資をする前に、損失が発生する確率が分かることです。

さらに、SRが1違うと、ものすごく大きな違いがあることもわかります。
SR=1とSR=2では損失確率に6倍もの違いがあります。

ここで、思いませんか?

少しでもシャープレシオを大きくする方法はないのだろうか?

次回から、この課題を追求してみましょう。
いよいよ、ポートフォリオ理論が登場でしょうか???


<重要な追記>
上記記事で損失確率を具体的な数値として書いてありますが、実際の金融時系列では、ファットテールと言われる問題があり、SRが2や3の場合の損失確率は、もっと大きくなります。この点は、大変重要ことですので、ご注意ください。また、運用開始後に標準偏差が急激に上昇することもあります。そのようなときは、運用開始前の推定値では、リスクを過小評価することになってしまい、危険です。本記事を参考にしてトレードした結果については、著作者は責任を負うことは出来ませんので、その点、ご了承ください。




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シャープレシオ その4

しつこく、シャープレシオの説明です。
そろそろ、

FX投資するならこの通貨ペア
最新シャープレシオ・ランキング!


でもやったほうが良いですか? スワップ金利ランキングより意味があると思いますが、「FXポートフォリオ」とタイトルにもあるので、そのようなことはちょっと遠慮させていただきましょう。その代わり後で、もっとおいしいメニューが出てきます。

ところで、数回前まで、この辺にブログランキングのボタンを置いてみたのですが、効果があまりないようなので、下の方だけにします。最後まで読んだら、ポチ応援お願いします。

さて、T=100時点の対数正規分布ですが、ややこしいので正規分布で考えることにしました。分布の一番山の高い所は最初の値の100となります。

また、標準偏差は1日で1%でしたので、100日では10%となります。
(100日目なのでその平方根である、10をかけると換算できます。1日当りn%の標準偏差のリターンをT日累積すると、累積リターンの標準偏差はn×√T%になります。この換算については、近々説明しますので、今はそんなものだと思ってください。)

ここで、正規分布が持つ非常に都合の良い性質を利用します。正規分布は、平均値と標準偏差が決まると、分布の形状が決定されてしまうのです。そして、

平均から
±0.5標準偏差の間に約40%
±1標準偏差の間に約70%
±2標準偏差の間に約95%
±3標準偏差の間に約99.7%
が入ります。

T=100時点の分布グラフの標準偏差は10%で、金額に換算すると10円に相当します。
つまり、
100円±5円(95円?105円)の間に1000個のうち約400個
100円±10円(90円?110円)の間に1000個のうち約700個
100円±20円(80円?120円)の間に1000個のうち約950個
100円±30円(70円?130円)の間に1000個のうち約997個
入っていると推定できます。

実際に数えてみました。
100円±10円に678個、100円±20円に946個、100円±30円に997個
ありました。すごいですね。完璧ですね。(追記)

まだ、続きます。

(追記) 1000本程度の乱数では、実際にはこんなに上手くにいきません。ちょっと発生させた乱数に細工を加えて、きれいになるようにしています。
ところで、これ、金融屋さん(と言うと高利貸しか?)が良くやる、モンテカルロシミュレーションというやつです。ようするに、「乱数をたくさん発生させる、そして数を勘定する。」ということです。難しそうなことを言っても、原理は単純です。

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シャープレシオ その3

今回は、シャープレシオ(以下、SR)の数値をどう評価するかを考えて見たいと思います。SRは高ければ高いほど有利な投資です。では、その数値自体の意味は何でしょう。

例えば、SRが1とSRが2の投資機会があったとします。SR=2の投資は単純にSR=1の投資に対して2倍有利である、と考えてよいのでしょうか。

ここで、リターンの分布の話をする必要があります。実は、分布の話はややこしいのであまりしたくないのですが、幸い、多少の準備はできています。

リスクと標準偏差で使ったエクセルシートが役立ちます。ダウンロードしていない人は、ここからゲットしてください。スワップ派のためのFXポートフォリオ別館にある標準偏差の比較(2007/12/15)です。

このシートで、正規乱数と呼ばれる為替リターンと同じような性質を持つ擬似的なリターンを累積して、為替レートの変動の大きさを実験しました。F9ボタンを押して難解も乱数を発生させると、T=0時点で100から始まったレートは、T=100の時点でいろいろな値をとります。では、T=100の時点で取る値には、何か特徴があるのでしょうか。

こんな実験をしてみましょう。F9ボタンを1回おすと、T=100の時点お数値を1つ取得することができます。そして、その数値を記録しておきます。この操作を何百回も繰り返して、すべての数値を記録します。(VBAが書ける人は実際にやってみると面白いですよ。)

次に、そのたくさんの数値を値(分位)によって分類します。例えば、・・・96?98、98?100、100?102、102?104・・・のように。そして、それぞれの分位に何個値が入っているか数えます。

時間軸を1目盛り1日と考えて、標準偏差が1日当り1%(100日に換算すると10%に相当)のときの結果を棒グラフで表示してみましょう。1000回の繰り返してデータを作ってみました。以下が結果です。

100に近いほど多く、100から離れるほど少なくなっています。また、100を中心に左右がほぼ対称になっています。統計を少しでも勉強された人は、見たことがあるグラフだと思います。
分布1

正規分布ですね。
いいえ、違います。
対数正規分布です。

でもこの場合、あまり大きな違いはないので正規分布として以下考えましょう。対数正規でやるとLogという関数が出てくるので、じん麻疹が出て読むのを止めてしまう人が頻発する可能性があります。それに、Logを分かりやすく説明するのも2回分くらい余計に記事を書く必要があり、私も大変です。 

というわけで、次回に続きます。

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シャープレシオ その2

投資魅力度を表す式として

候補1:投資魅力度=期待リターン?予想リスク  (引き算)
候補2:投資魅力度=期待リターン/予想リスク  (割り算)

のどちらがより適切でしょうか。


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レバレッジ1倍の状態で
期待リターン=7%、予想リスク=5%としてみます。

候補1:投資魅力度=7%?5%=2%
候補2:投資魅力度=7%/5%=1.4

と計算されます。

次にレバレッジを2倍としてみます。
このとき、期待リターンは証拠金に対して2倍の14%、変動率も証拠金に対してはそのまま2倍になりますので、予想リスクも2倍の10%となります。

候補1:投資魅力度=14%?10%=4%
候補2:投資魅力度=14%/10%=1.4

候補1では、投資魅力度が2倍になってしまいました。レバレッジを大きくすれば大きくするほど、投資魅力度が大きくなってしまいます。これでは、少しおかしい気がします。一方、候補2では同じ値となっています。

投資魅力度は、通貨ペアAと通貨ペアBのどちらに投資するのが有利であるかを判断するために使いたいので、候補1のようにレバレッジに依存する性質は、都合がよくありません。

候補2は一定ですので問題はありません。つまり、投資対象の選択だけに依存します。
よって、候補2を投資魅力度として採用します。

とうとう、期待リターンと予想リスクを使って投資の優劣を数値で判断する計算式にたどり着きました。この式のことをシャープレシオといいます。

シャープレシオ=期待リターン/予想リスク  (追記)

この式はスワップ派にとっては絶対に外せない式です。シャープレシオを知らないでスワップ狙いの投資をするのは、コンパスなしで航海に出るのと同じくらい無謀なことです。

シャープレシオが大きい=良い投資
シャープレシオが小さい=悪い投資

です。

自分でシャープレシオを計算できるようになりました。
いろいろな通貨ペアでシャープレシオを計算してみると面白いですよ。


(追記)
シャープレシオの正確な定義は、(リターン?リスクフリーレート)/リスクです。為替証拠金取引で、スワップレートを期待リターンと考えた場合には、ショート側の短期金利が既にマイナスされているので、リスクフリーレートを省略してリターン/リスクをシャープレシオとして問題ありません。

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シャープレシオ その1

前回、リスクの尺度として標準偏差としても良さそうだ、と書きました。これ以降しばらくの間
リスク=標準偏差
としましょう。(あくまで、FXの証拠金取引や株の現物取引の場合と考えてください。オプションや保険、宝くじや事故率などのリスクは標準偏差だけでは表せません。)

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ここで、いったんおさらいします。

リターン:スワップ金利
リスク:リターンの標準偏差

と表せることが分かりました。

ただし、実際に投資するときは過去のリターンなどはどうでもよく、今後のリターンをどう見るか、が重要です。そのようなリターンを期待リターンといいます。また、リスクもこれからどうなるかが重要なので、予想リスクといいましょう。

投資家にとって、「期待リターン」と「予想リスク」の2つのパラメータを正しく求めることは、むちゃくちゃ重要です。

スワップ派にとって、期待リターンは業者が提示しているスワップ金利(各国間の短期金利差)としてよいでしょう(追記1)。また、予想リスクは過去のリターンの標準偏差としましょう(追記2)。

ようやく、投資判断の材料がそろいました。この2つのパラメータで投資判断をしましょう。つまり、この二つのパラメータを使って投資魅力度のような値を計算すれば、投資魅力度が高いものほど良い投資だ、と判断することが可能になります。

期待リターンは高ければ高いほど良い
予想リスクは低ければ低いほど良い

ですので、
投資魅力度は、

期待リターンが高いほど大きくなる
予想リスクは低いほど大きくなる

ような式を作ればよいでしょう。そんな都合の良い式はあるでしょうか。

候補1:投資魅力度=期待リターン?予想リスク  (引き算)
候補2:投資魅力度=期待リターン/予想リスク  (割り算)


二つの式とも投資魅力度の性質を満たしています。どちらの式が適切でしょう。

次回に続きます。

(追記1)期待リターンの推定はそんなナイーブな話ではないと言われる方も多いと思いますが、あえて、これでも良いと私は考えています。さすがにインフレ率が強烈な場合は除きますが。
(追記2)予想リスクの推定方法は、リターンの単純な標準偏差を使う方法から、もっと統計的に複雑な方法まであります。また、リターンの標準偏差の値は時間方向で比較的安定していますので、過去から計算した値をそのまま予想値として用いることも可能です。

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標準偏差とリスク

シャープレシオの話をする前に、標準偏差とリスクの関係を理解する必要があります。今日はその準備です。

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標準偏差を使うことによって、為替レートの不確定要素を数値として表すことができました。また、エクセルのシートを使うと簡単に計算できることもわかりました。
 
標準偏差が大きいほど日々の為替レートの変動が大きいことになります。
数値だけ見ても、いまひとつ感覚がつかめない人もいると思いますので、エクセルで簡単な実験をしてみたいと思います。

このページ→スワップ派のためのFXポートフォリオ別館

から、標準偏差の比較(2007/12/15)
をダウンロードしてみてください。

このシートでは大きさの異なる標準偏差を持った乱数を2系列発生させて、グラフでその動きを比較をすることが出来ます。

何のチャートだで書いたように、乱数系列を為替のリターンと仮定して累積すると、為替レートと見分けのつかないような動きになります。

そこで、このシートでは大きさの異なる標準偏差を持った乱数を2系列発生させて、グラフでその動きの比較をすることによって、標準偏差と為替レートの動きの関係を感覚的につかむことができるようになります。

シートの解説をします。
エクセル関数(RAND)で作ることが出来る乱数は一様乱数で、0?1間で一様に分布する(どの数値も同じ確率で存在する)乱数が発生します。

そのため、為替リターンに近い動きをする正規乱数に変換する必要があります。(ランダムさの尺度 その1を参照) エクセル関数(NORMSINV)を使うと、一様乱数を簡単に正規乱数に変換することが出来ます。この変換で出来る正規乱数は標準偏差が1となります。

標準偏差1というのは、%単位だと100%なので、為替リターンと見なすには少し大きすぎます。そこで、標準偏差の調整をする必要があります。

D列の式を見れば分かるように、100で割れば1%に変換できます。また、3%の標準偏差にしたい場合は、100で割って3をかければ簡単に変換できます。

B列とC列には一様乱数列が発生しています。そして、D列、E列にはそれぞれ、C列、D列から変換した標準偏差調整後の正規乱数が計算されています。

D列は標準偏差が1%、E列は初期状態では3%となっています。E列はE8セルの数値を変えると任意の標準偏差を持った正規乱数列とすることができます。

D列は日次の標準偏差が1%
E列は日次の標準偏差が3%(初期状態)

となっている、擬似的な為替のリターン系列が出来ました。

次に、この擬似為替リターンを使って擬似的な為替レートを作って見ましょう。
ランダムではありませんで書いたように、為替リターンを累積すれば為替レートになります。G列、H列はそれぞれ、D列、E列の値を累積した値が入っています。比較のために、両方ともT=0時点(A列を参照)のとき100として計算しています。

このG列、H列の折れ線グラフがシートに張ってありますので、比較してください。黒線は標準偏差1%、赤線は標準偏差3%です。赤の方が動きが激しいことが見た目でもはっきりと分かります。

ここで、F9ボタンを押してください。乱数列が再発生するのでグラフの形状が変わると思います。グラフの形状が変わっても標準偏差が大きい赤い線の方が動きが激しいと思います。

さらに、何度もF9を押して、T=100の時点で黒い線と、赤い線がどの位置にいるか観察してみてください。赤い線の方が初期値(T=0)の100から大きく離れることが多いと思います。

現実の為替でも同様にリターンの標準偏差が大きい方が、為替レート自体もどこに行ってしまうか分からないことになります。

為替レートがどこに行ってしまうか分からないことをリスクと考えるならば、リターンの標準偏差をリスクの尺度としても良さそうですね。

蛇足を加えると、
リターンの標準偏差が大きい
  ↓
どこに行ってしまうか分からない
  ↓
損する可能性が大きい
  ↓
リスクが大きい

です。

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標準偏差の計算方法

エクセルで標準偏差の計算をします。エクセルファイルを作りましたので、ダウンロードしてみてください。
ここからダウンロードできます。
↓  ↓
スワップ派のためのFXポートフォリオ別館
の標準偏差の計算(2007/12/14)です。
(別館はホッタテ小屋です。まだ、何もありません。)

シートを見れば分かると思いますが、簡単に解説します。
右上に赤い三角が小さくついているセルには、コメントがついていますので参考にしてください。また、黄色になっているセルが計算値です。

USDJPYで101日分のレートがB列に入っています。C列には為替レートから計算したリターン系列が100日分入っています。同じに見えるで説明の通りに計算されているので確認してください。
このリターン100日分を使って標準偏差を計算します。

USDJPYのレートで標準偏差を計算するのではありませんので注意してください。
まず、シート関数を使って計算する方法です。

標準偏差や分散を手っ取り早く計算するには、エクセルの関数を使えば簡単にできます。
C8セルには分散C7セルには標準偏差が計算されています。セルの式を参照してください。
(STDEVで標準偏差、VARで分散が計算できます。)

次に、シート関数を使わないで計算する方法です。
FXのスワップで稼ごうと考えている方は、関数を使わずに計算する方法もマスターしておいた方が、後々役立つと思います。

前回、標準偏差の計算方法はリターンの2乗平均の平方根と書きましたが、ここでは、エクセルの関数の定義に合わせて(こちらの方が一般的です)、リターンからリターンの平均値を引いた値の2乗平均で計算してみます。

D列は、リターンからリターンの平均値を引いた値です。リターンの平均値はC6セルに入っています。

E列は、D列を2乗した値です。D列の平均値が分散となります(E8セル)。そして、分散の平方根を取ると標準偏差(E7セル)となります。

ここで、注意しなければならないのは、E列の平均値を計算するときはE列の値を合計して要素の数(=100)で割るのではなく、要素の数?1(=99)で割る必要があることです。
なぜか、と言われるとややこしいので省略しますが、エクセル関数(STDEVやVAR)の数値と合わせるときは、こうする必要があります。

こうやって計算された値が、関数を使って計算したC列の値と同じ数値になっていることを確認してください。

G列は、リターンから平均値を引かない方法です。エクセル関数で計算した方法とほとんど同じ値になっています。為替リターンの標準偏差を計算する場合はこれでも良いでしょう。この場合、平均を計算するときは要素の数(=100)で割ります。

文章で書くと自分で読むのも嫌になりますが、シートを追ってもらえれば簡単に分かると思います。

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ちょっと一息

分散の計算をExcelで紹介しようとしたのですが、手順を追った画像を貼り付けてゆくのは非常に手間がかかることが判明したので、それはやめることにしました。
そのかわり、計算式を埋め込んだExcelファイルをアップしようとしたのですが、これも、ブログではダメなんですね。
というわけで、HPを作ってそちらにExcelファイルをアップして、ここからリンクすることにします。HPのことは、良く分からないので、ちょっと、これから格闘してみます。できたら、報告します。

というわけで、今日はブレイク。

最近、為替の長期ポートフォリオ用のリスクモデルも改良しています。ある程度のレベルまでいきましたら、これとオプティマイザーを使って作った、モデルポートフォリオもアップする予定です。
オプティマイザーも、Longのみの決め打ちで作ってしまえば簡単なのですが、Shortも対応させようとすると、案外、難しいものです。ようするに、スワップではマイナスになりますが、リスク低減効果の方が強いので、あえて、Shortポジションを組み込むというやつです。
これに対応させると、たとえば、対USDの20通貨をユニバースにして最適化を行うことは、20通貨すべての組み合わせのペアで最適化を解くのと、同じ効果が得られます。

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ランダムさの尺度 その3

もうひとつの尺度を考えて見ましょう。これは、ちょっと一ひねりした感じをうけます。各数値を2乗して平均をとります。

2乗するとマイナスの数値もプラスになりますので、平均したら0になってしまうことはありません。(たとえば、-2を二乗すると4となります。)

昨日の図で計算してみましょう。

グラフ12項乱数

グラフ2正規乱数

グラフ3正規乱数03


グラフ1では、1.0   1.0
グラフ2では、1.0   1.0
グラフ3では、0.11  0.33

となりました。
左の数値は、分散といいます。そして、分散の平方根を取った値を標準偏差(右の数値)といいます。分散では2乗して平均を取っているので、標準偏差は平方根をとって大きさを元のレベルに戻している数値、と考えてください。

(ここでも、平均からの偏差の二乗平均だとか、母分散だとか、標本分散だとかの野暮なことは言いたくありません。)

皆さんおなじみのボラティリティとは、通常、この標準偏差を年率換算(換算の方法は入門編で書く予定です)した値です。

分散や標準偏差は、数学的に非常に扱いやすいので通常はこの尺度を用います。
ついに、標準偏差(ボラティリティ)に到達しました。
かすかにポートフォリオ理論がみえてきました。これから、分散や標準偏差が大活躍します。

一旦、まとめます。
為替の標準偏差とは、

為替リターンの2乗を平均して平方根を取ったもの (注)

です。これは重要ですので覚えてください。

(注)本来の定義は、リターンの平均値からの差の2乗ですが、平均値を0と仮定すればこれでも良いことになります。


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ランダムさの尺度 その2

下のグラフを比較してください。
グラフ2(再掲)
正規乱数

グラフ3
正規乱数03

グラフ2とグラフ3は形状は同じようですが、数値の大きさが違います。グラフ2では-3?3くらいですが、グラフ3は、-1?1くらいの間の数値がランダムに発生しています。

発生している数値の大きさが違いますね。ただし、どちらも平均を取るとほぼ0となります。
では、この大きさを簡単に表す尺度を考えて見ましょう。

平均値は、どちらも0となってしまうのでダメですね。
どうしましょうか?
どこからか、声が聞こえてきます。

棒グラフの長さの平均値を取ればよいのでは?

いい線いってます。これも正解の一つです。長さなので数値の絶対値の平均を計算することになります。

下の図のように原数値である水色の値がマイナスの場合は、ひっくり返えします(赤)。そして、その値の平均をとります。
平均偏差

計算してみましょう。(絶対値とは、プラスの数値はそのまま、マイナスの数値はマイナスを取った数値に変換した値です。)

グラフ1では、 1.00
グラフ2では、 0.80
グラフ3では、 0.27

となりました。グラフ2はグラフ3の約3倍の数値ですね。
これを平均偏差といいます。平均的には毎日の数値の大きさがどのくらいあるのかを示します。

これらのグラフが為替のリターンとすれば、グラフ2の通貨ペアは、グラフ3の通貨ペアよりも3倍程度良く動くと言うことが出来ます。

平均偏差を使うことによって、通貨ペアのランダムさの尺度を数値化することができました。

(平均偏差は正確には平均値との差の絶対値の平均値ですが、そんな野暮なことはここでは言いたくありません。)

ただし、平均偏差は取り扱いが難しいので、普通は別の尺度をもちいます。

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ランダムさの尺度 その1

いよいよランダムさの性質を調べてみましょう。
下の2つのグラフを見てください。

グラフ1
2項乱数

グラフ2
正規乱数


グラフ1,2とも、ランダムな数値ですが性質が異なることは一目瞭然です。

グラフ1は、-1と1をそれぞれ確率50%でランダムに発生させたものです。
グラフ2は、平均を0となるようにして、あるルールに従って乱数を発生させたものです。-3?3位の間で色々な大きさの数値があることが分かります。

為替の日次リターンはどちらの乱数に性質が近いでしょうか。

同じに見えるでUSDJPYの例を示しましたようにグラフ2ですね。
(pips または tickのレベルでみればグラフ1のようになりますが、グラフ1とグラフ2の関係はちょっと難しいので、ここでは話題に上げません。)

2のような乱数で、ある種類の乱数は非常に扱いやすくとても便利なのです。そのため、ポートフォリオ理論では、資産(為替)のリターンもそのような乱数と同じような性質を持つとして扱います(正規乱数といいます)。


追記1)
グラフ1のような乱数を累積してゆくとグラフ2のような性質をもつ乱数に近づいてゆきます。そのために、tickレベルではグラフ1のような動きが、日次ではグラフ2のようになります。

追記2)
為替リターンは、実際には正規乱数(正規分布の乱数)とはいえません。このことは、今後リターンの分布の話をするときに書く予定です。

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相関行列

くりっく365採用の通貨ペアの相関行列を計算してみました。
現状、こんなもんだろう、と考えている計算方法で作っています。(単純に1年間や3年間のデータなどで作っているのではありません。)

日次ベースで計算をしていますが、たぶん、他のブログやページに載っている数値とちょっと違うと思います。計算方法の概要については、今後入門編で書く予定です。

2007年10月末時点
相関行列200710

数値は、結構直感に合致しています。(この感覚は意外と重要です。)
この行列を眺めていると、通貨を拡大してクラスター分析や因子分析をやりたくなります。
そのうち気が向いたら、それらで分析した結果も書いてみます。

週末は時々、相関行列などのデータを掲載してゆく予定です。


そういえば、今日は開戦記念日ですね。
たまには、時事ネタでも書いたほうがいいかな。


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為替の自己相関係数

自己相関とは、自分自身との相関のことです。といってもまったく同じ数値の相関をとっても1になって意味がありません。

そうではなくて、時間軸をずらして、t時点の数値とt+n(n≧1)時点の数値の相関のことです。

AutoCorr(n) = Corr(Xt,Xt+n)

をXのLag(n)の自己相関係数と定義しましょう。
もし、自己相関が有意に存在すれば将来の予測が出来るということになります。
スワップ派といっても、将来レートが予想できるのに越した事はないので、為替レートでやらない手はありません。

毎度おなじみのUSDJPYでやってみましょう。
1994/3/31?2007/10/30の日次データをつかって、Lag(1)のレートの自己相関を計算してみます。

結果は0.997

すごい!
ほとんど1だ!完璧に予想しているじゃないか。これでリタイア、南の島で優雅に暮らすぞ。
さて、確認のためにプロット図で見てみよう。

USDJPY Lag1 Rate

相関がほとんど1だと。
ちょっとまてよ、当たり前じゃないか?

昨日のブログで書いたある通り、昨日と今日のレートは近い数値だ。といっているだけだ。

肝心なのはリターンだ!リターンで自己相関を計算してみよう。同じ期間の日次のリターンで計算すると

結果は-0.02

念のためプロットしてみよう。
USDJPY Lag1 Return

そうだよな。そんな簡単に世の中儲かる話はないよな。
残念。

USDJPYのリターンのLag(1)の自己相関は、ほどんど0という結果になりました。つまり、この結果だけからでは「ランダムではない(≒予測ができる可能性がある)」とは言えません。

でも、Lag(2)、Lag(3)・・・・では? また、他の通貨では?もしかしたら何か関係が見つかるかもしれません。興味のある人はやってみてください。

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ランダムではありません

昨日書いたように、為替レートの数値自体は、ランダムではありません。というのは、明日の為替レートは今日の為替レートに近い数値になっているからです。

USDJPYは今日110円ならば、明日、突然1円になって、その翌日200円になるようなことはありません。大抵の場合110±2円程度に収まっています。

今日のレートが分かれば、明日の大まかなレートの数値は予想できるということです。(儲けられるという意味ではありません、利益はリターンから発生します。)ランダムなのはレートの変化率である「リターン」です。

ここで、
簡単な公式(リターンの定義)を示しておきます。
明日のレート=今日のレート×(今日のリターン+1)
例えば、USDJPYは今日、110.00円でリターンが1.2%であるならば、
明日のレート=110.00×(0.012+1)=111.32円
となります。

少し発展
今日のレートと明後日のレートの関係をリターンで表すと

明後日のレート=明日のレート×(明日のリターン+1)
   =今日のレート×(今日のリターン+1)×(明日のリターン+1)
となります。
今日とn日後のレートの関係は、その間の毎日のリターンをかけ合せてやればよいことになります。

このことを、リターンを累積するといいます。

なんか、お勉強しているみたいで
つまらない!
相変わらず、ポートフォリオの話は出てこないじゃない。

と言わないでください。この話、利益の出るFXのポートフォリオの作り方にちゃんとつながってゆきます。

今後、大活躍するポートフォリオ理論はリターンをベースとしていますので、ここの所をあやふやにしてしまうと、あとで、

大ポカ をやることになります。

今日のことに関連することで、次回はちょっと自己相関のさわりについて書いてみる予定です。



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確定要素と不確定要素

2回ほど実用編を書きましたが、また、元の話題に戻ります。

何のチャートだ

では、
為替のリターンは乱数のように振る舞うと書きました。つまり、将来の為替レートのリターンは予測不可能である、ということです。ちょっとまとめてみましょう。

確定要素:スワップ金利
不確定要素:将来の為替レートのリターン

確定要素であるスワップ金利は、毎日業者がほぼ確定した数値を提示しているので、特に問題はないでしょう。

問題は、不確定要素をどうやって扱うかです。これを取り扱うときは、2つの論点があります。

1.不確定なことを、なんとか予想できるようにする。
2.不確定なことは仕方ないとして、不確定さの性質を調べて対策を考える。

1.のアプローチの代表的な例はテクニカル分析やファンダメンタル分析での為替レートの予想です。

純粋スワップ派にとっては、レート予想の話題は取り扱いませんので、2の不確定さの性質をしらべて見ましょう。
結論を先に言いますと、スワップ派が安定して収益を上げるためには、不確定さをいかに克服するかが、もっとも大切なことです。

不確定さの性質を調べるといっても、雲をつかむような話ですが、ここで前回書いた「リターン」の考え方が役立ちます。

つまり、「リターン」が乱数のように振舞うとすれば、確率やら統計やらのツールを使うことが出来るようになるので、いろいろと便利なのです。

ここで、注意することがあります。
為替レートの「リターン」は乱数のようにみなせますが(ランダムとも言います)、為替レートの数値自体は、ランダムとして扱うことはできません。???

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マージンコールの発生確率 その2

では、計算してみましょう。
必要なパラメータは4つです。

•   確率を計算する期間
•   レバレッジ
•  スワップ金利
•  ポジションのボラティリティ

具体的なペアの方が面白いので、USDJPYとNZDJPYでやってみます。
ボラティリティは様々な計算手法がありますが、ここでは1年間の日次リターンの単純標準偏差の年率換算値とします。

USDJPYのボラティリティ

USDJPY=9.6%
NZDJPY=21.1%
となりました。

NZDJPYは、最近急激にボラティリティが上昇していますので、直近10年間での最高水準に位置しています。

スワップ金利は
USDJPY=4%
NZDJPY=7%
とします。

計算期間は3ヶ月としましょう。つまり、3ヶ月以内にマージンコールが起こる確率を計算することになります。

また、証拠金がどの水準になったらマージンコールが起こるか決める必要があります。業者によって異なりますが、ここでは、実質証拠金が0となった瞬間、つまり、含み損が証拠金と等しくなった瞬間にマージンコールが起こるとします。

この条件で、レバレッジを2倍から100倍まで変化させてみました。結果は下図です。

マージンコール確率

レートは上がるか下がるか、なので、どんなにレバレッジを大きくしてもマージンコール確率は最大50%だ。レバレッジ100倍で勝負!なんて思っていた人はいませんか?

やめましょう。

8?9割以上の確率で資金を失います。やるとしても1万円で宝くじくらいの感覚でやりましょう。

スワップ狙いなら、NZDJPYでは、レバレッジ3倍以上はやめたほうがよさそうです。ボラティリティが大きいので、レバレッジを少し上げただけで、マージンコールに引っかかる確率がかなり大きくなります。

USDJPYは、7倍くらいまでなら安全そうですね。


追記)
この記事では、評価期間を3ヶ月としていますが、もっと長期で保有する場合、各通貨のボラティリティが上昇した場合には、マージンコール確率は過小評価となる可能性がありますのでご注意ください。



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マージンコールの発生確率 その1

時々、実用的な問題を話題に取り上げることにします。

普通、FX証拠金取引ではレバレッジを効かせていますので、株で言うところの追証、つまり、マージンコールの危険性が常に存在します。

リスク管理の観点からレバレッジは5倍以内に抑えましょう、などとしばしば書かれていますが、実際にはどのくらいのレバレッジが限界なのでしょうか。

それを判断するために、マージンコールが発生する確率が表示できたら便利です。たとえば、

「USDJPYをレバレッジ20倍とすれば、1ヶ月以内にマージンコールが発生する確率はXX%である。」

なんて言えたら便利だしカッコいいですね。というわけで、早速計算してみましょう。と、簡単に書きましたが、結構ややこしい話です。以下の仮定を置いてみます。

• ポジション価値は対数正規分布に従いボラティリティ一定
• ドリフトはスワップ金利として一定
(実はこの仮定、2つともそれなりに問題がありますが、ここでは、これでいいでしょう)

こうすれば、ノックアウトオプションを評価をする方法と同じような考え方で計算することができます。

要するに、ある期間内で一度でもマージンコールが発生する価格に到達する確率を計算することです。導出は結構面倒ですが、これを一発で計算できる式がちゃんと存在します。

ただし、リターンがすその厚い変な分布に従ったり、ボラティリティが変化したりすれば計算式がありませんので、モンテカルロシミュレーションを使って、CPUパワー全開でやる必要があります。

ちなみに、VaR(バリューアットリスク)の考え方ですと、期間の最終時点でのみ評価をします。そのため、マージンコール確率は過小に計算されてしまいますので注意してください。VaRの考え方では、下図の通貨ペアAにはマージンコールは発生しないことになります。
通貨ペアBの場合のみマージンコールが発生したみなしてしまいます。

マージンコール図


明日は、具体的な計算例を示してみます。

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何のチャートだ

昨日の図の再掲

USDJPY2006 DailyRet

Random DailyRet


上はUSDJPYの2006年の日次の変化率でした。
下の図は乱数列(規則のない数値の列)を発生させて同じように棒グラフ化したものです。

乱数列とは規則のない数値で、次にどのような数値がくるのか
予想することは不可能な数列です。

図のタイトルと隠してしまえば、どちらがどちらか見た目じゃ分かりません。作った私が見ても、グラフだけからでは判断できません。

つまり、実際の為替レートであるUSDJPYの毎日のリターンは、乱数で発生させた値とほとんど区別がつきません。
ここで重要なことを書きます。

為替のリターンは乱数のように振舞う。

(乱数そのものではありませんが、純粋スワップ派にとっては乱数と考えてかまいません。)

次に、下の図を見てください。


USDJPY2006 CumRet

Random CumRet


上はUSDJPYのレートです。下は、先ほどの乱数を累積したものです。
乱数で作った累積値も為替レートの変動のように見えませんか。


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同じに見える

変動について書いてみます。

EURJPY(1EUR=160円とします)が1円60銭、円安になった
NZDJPY(1NZD=80円とします)が1円60銭、円安になった

どちらの変動が大きかったでしょうか。

当たり前ですが、変動の大きさは1円60銭で変わりありません。では、EURJPY、 AUDJPYも同じだけ動いたと考えてよいのでしょうか。
極端な例として、XXXという通貨があり、1XXX=2円だとします。
これが1円60銭変動したらどうなのでしょう。

そこで、変化した割合、つまり、変化率で考えてみます。

変化率=変化幅/レート

とします。難しく言うと、変化幅をレートで標準化します。
上の例では

EURJPYの変化率=1.6円/160円=1.0%
NZDJPYの変化率=1.6円/80円=2.0%
XXXJPYの変化率=1.6円/1円=160%

NZDJPYの方が変化率では2倍大きかったことになります。XXXJPYは160倍です。
というわけで、変化率を使えば、レートの数値の大きさの影響を排除できるので、通貨の変動が比較しやすくなります。

また、

投資資金の増減幅=変化率×投資金額

となりますので、変化率を使うといろいろと便利です。
変化率のことは、rate of return または、単にreturnといいますので、今後は、リターンと書きます。

リターンという言葉がでてきましたので、

「事前に、これから為替レートがどちらに動くか分からない」

「事前に、これから実現するリターンは分からない」

に書き換えてみます。同じことじゃないか、と思われるかもしれませんが、リターンという考え方を使うと今後いろいろと都合がよくなるので、まあそんなものかと、思ってください。

ここで、ちょっと下の図を見てください。


USDJPY2006 DailyRet

Random DailyRet


上の図は2006年のUSDJPYの毎日の変化率を時系列で棒グラフ化したものです。
下の図はなんでしょうか?

また、この2つの図を比べて何か思われませんか。

なんか、だんだんまじめになってきました。


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スワップ派のためのFXポートフォリオ 2007年12月
スワップ派のためのFXポートフォリオ
FXでスワップ金利を低リスクで稼ぐための通貨ポートフォリオについてわかりやすく書きます。本業は、某社の現役クオンツです。 保有資格:日本証券アナリスト協会検定会員

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相関係数とは その4

相関係数について分かったことを整理しましょう。

・ポートフォリオの分散は、リターンの計算と違って単純に加重平均では計算できない。

・ただし、共分散を導入することによって計算することは可能。

・共分散は、各期の各通貨の互いのリターンの積の平均値となる。

・共分散を各リターンの標準偏差で割った値を相関係数という。その値は‐1?1の値をとる。

・相関係数は各リターンの標準偏差の大きさには影響されず、相対的な関係を表す。

・各リターンの標準偏差を一定とした場合、共分散の大きさは相関係数で決まる。つまり、ポ ートフォリオの分散は相関係数の値が異なると、異なる値をとる。

・相関係数はお互いのリターンが常に等しいときに最大値の1、常に反対(逆符号) のときに最小値の?1をとる。それ以外の場合は、‐1?1の間のさまざまな値をとる。(追記)

・相関係数は、各リターンが同じように動く傾向があるときはプラスの値、反対に動く傾向があるときは、マイナスの値をとる。

さて、相関係数の正体が見えてきました。

以上をまとめます。

 ポートフォリオの分散は、
 個別通貨ペアの分散と組入れウエイトが一定の場合でも
 リターンの相関係数の値が異なると、
 異なる値をとる。


いままで飛ばし読みした人も、これは覚えたほうがいいでしょう。正直、このまとめだけ覚えておけば、今までの式展開はどうでも良いことです。

次回は、実際にエクセルで計算してみましょう。


今年最後の記事になりました。
来年は入門編が終了した後、いよいよ実戦的なポートフォリオ構築まで踏み込んで解説をしたいと考えています。
良いお年をお迎えください。


(追記)
相関係数が1となる条件はもう少しゆるく
20071231-1
です。
また、相関係数が‐1となる条件は
20071231-2
です。

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相関係数とは その3

今回も数式が出てきます。めんどくさい人は読み飛ばしてもらっても平気です。
前回、最後に出てきた式の以下の部分のことを共分散といいσabと書きます。

20071230-9

分散の定義式とにていますね。r2の代わりのrabとしただけです。ra=rbとすれば、分散と同じになります。

つまり、分散とは、同じもの同士の共分散である、ということもできます。そして、この式はAとBの何らかの関係を表すと考えても良さそうです。

これから、この共分散の性質を調べてみましょう。と簡単に書きましたが、これを分かりやすく説明するのはかなり困難です。

ベクトルやらcosθやら使えると直感的な説明ができるのですが、数学が不得手の人には、ますます訳が分からなくなるだけで、どうにもなりません。

ここで数式をつかった説明を書いてみたのですが、あまり意味がなさそうなので省略します。

とりあえず、共分散と標準偏差との関係を先に書いておきます。(追記1)

20071230-2

共分散の絶対値は、互いの標準偏差の積よりも小さい値となります。そして、

20071230-3

つまり、共分散をそれぞれの標準偏差で割った値を相関係数と呼びます。

共分散は、raとrbの関係を表しますが、raやrbの標準偏差の大きさによって値が変化してしまいます。(標準偏差が大きいほど共分散も大きくなります。)

相関係数とは、共分散をそれぞれの標準偏差で割って、それらの大きさに左右されないようにした値です。つまり、raとrbの相対的な関係のみを表した数値と言えます。
たとえば、

20071230-7

となることがわかります。(この関係は共分散の定義式からすぐに導出できます。)

数値自体の読み方は、ほとんどの方はご存知なので簡単に書きますと、(追記2)
   ‐1    : 完全逆相関 raとrbは常に反比例関係が成り立っている。
    1    : 完全相関  raとrbは常に正比例関係が成り立っている。
    0    : 無相関    raとrbは無関係に変動する。
‐1<ρ<0 : 逆相関    raが大きいとrbは小さい傾向となる関係がある。
 0<ρ<1 : 順相関    raが大きいとrbも大きい傾向となる関係がある。

相関係数はグラフでプロットするとイメージできますので、近いうちにグラフの例をアップします。

2回ほど、数式ばかりでややこしかったのですが、途中はどうでもよいので、

20071230-5

だけ覚えておけば十分でしょう。
この式をつかって、後ほど実際にエクセルでポートフォリオのリスクを計算してみます。

次回からは、あまり数式がだらだら出てくることはありませんので、普段のペースに復帰できそうです。

次回に続きます。

(追記1)
20071230-8

(追記2)
完全相関は比例関係と書きましたが正確には線形関係です。
また、相関係数が0であるから2つの変数は無関係である、とは言えません。非線形関係等の相関係数では表せない何らかの関係がある場合があります。

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相関係数とは その2

ところで、巨人の星では、・・・この話は止めましょう。

前回、突然GARCHでのボラティリティ推定を書きました。実は、今回の記事をアップしようか迷っていまして、ピンチヒッターで入れみてました。が、あまり受けなかったようですね。

GARCH自体は、以前、別の資産のリスクモデルを構築していたときに検討したのですが、推定ボラティリティが激しく変動しすぎるので、結局、使うことはありませんでした。

意外な使い方としては、短期売買のテクニカル派の人が、指標のスイッチングにつかうと面白いかもしれません。

さて、本題に入ります。
今日も数式が出てきますが、とばしてもらってもOKです。実際、細かい数式は分からなくとも、結果の使い方を正しく認識していれば、利用者としては十分なのです。

ただ、ちょっとばかり今後の都合もあって、相関の導出を書いておく必要があるので、興味のある人だけお付き合い願います。

予備知識として、中学で習った公式

20071228-1

を復讐じゃなかった復習しておけば、以下の数式は追えるはずです。

ポートフォリオのリターンは

20071227-1

でした。これを2乗してみましょう。

20071228-2

うぅ、頭が割れそうだ、やめてくれ。と声が聞こえてきそうです。

この式、どこかで見たことありませんか。
前回書いた、ポートフォリオの分散の式

20071228-3

と似ています。rとσを交換すればそっくりです。ウエイトも2乗になっていますね。となると、調整項は

20071228-4

のような形になることが予想されます。これ、ほとんど正解なのですが、ちょっと違います。肝心なものが抜け落ちています。

数式ばかりで、わかりづらいかもしれませんが、もともと、相関係数は数学的な概念なので、どうしても言葉だけでは正確には説明し切れません。もうすこし、お付き合い願います。

何度も書きますが、分散の定義はリターンを2乗して平均をとりました。式で書くと
(以下 r の平均は0とします。)

20071228-5

となります。要するに、1期からT期までrの2乗を足し合わせてTで割った、つまり、平均を計算したという意味です。
ここで、先ほどの式

20071228-6


を分散の定義式に放り込んでみましょう。うじゃうじゃと項があって大変ですが、整理すればやさしくなります。結果はこうなります。

20071228-7

ついに、調整項の正体が明らかになりました。

20071228-8

式を追ってくれた人、お疲れ様です。ついにここまで来ました、もう一歩です。

式を書くほうも疲れます。はぁ。

次回に続きます。


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GARCHによる今年のUSDJPYボラティリティ

ボラティリティ推定の統計モデルであるGARCHで2007年のUSDJPYの日次リターンのボラティリティを推定しました。

GARCH(1,1)を使っています。また、パラメータ推定は1980年からのデータを用いています。
GARCHの詳しい解説は省略しますが、ボラティリティを最適なパラメータを用いた指数移動平均で計算しているようなものです。

以下結果です。比較のために260日の標準偏差も計算しています。

GARCH-USDJPY2007

グラフのボラティリティは日次リターンから計算された数値なので、年率換算する場合は約16倍してください。

GARCHモデルは翌期のボラティリティを推定するモデルなので、大きなリターンが発生するとかなり敏感に反応します。

8月のサブプライムあたりからボラティリティが高い状態を保っているのは、感覚には合っているようには思えます。これは、260日標準偏差と比較するとよくわかります。

2007年の推定ボラティリティ(年率換算)の範囲ですが
               最低    最高
GARCH(1,1)     6.8%  13.8%
STD260         7.3%   9.9%

となっており、GARCHでは最低と最高で2倍以上の差があります。対照的に260日STDではかなり安定しています。

GARCHによる推定ボラティリティの大きな変動は、オプションプライシングや短期的な売買判断には適していると思われますが、長期的なスワップ狙いの運用では、ちょっと使い辛い感じをうけます。

特に、最適化を使ってポートフォリオを組成する場合には、リバランスごとに売買量が多くなりすぎて、単純には使えるようには思えません。もう少し、長期的なボラティリティの傾向をつかむモデルが必要なのでしょう。

他の通貨でのGARCHの結果も見てみたと思う方はクリック
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相関係数とは 必要ないの? その1

昔、巨人の星というマンガがありましたね。TVアニメとしても放映していましたが、あるパターンがありました。

永遠とも思われる長い前置きの後、ついに星飛雄馬が花形満と大リーグボールかなにかの対決となり、飛雄馬が花形に大リーグボールを投げた瞬間に時間切れ、翌週に続くとなります。

一週間やきもきして、ようやく続きを見られると思ってTVの前で陣取ると、なぜか、沢村栄治物語とか星一徹の現役時代とか、全然関係ない話が唐突に放映されます。なんというすばらしい構成だろう、と拍手喝采を送りたくなりました。

前回の終わりに、次回はいよいよ最適化の話か!

と期待されていた人は、同じような気分を味わうかもしれません。最適化の話はまだ当分先になります。ただし、これからの話を理解しないと最適化のことは分かりません。

本題です。

「相関係数とは」とタイトルに書いてしまったので、その話をしなければなりません。ここで、相関係数とは‐1から1の間の値をとって、0は無相関、±1は完全相関といい・・・

などと説明しても無意味(とまでは言いませんが)です。こんな説明ならWikiを見れば十分でしょう。要するに、分かっている人は分かるし、分からん人は分からんという説明ですね。

(これからしばらく数式が出てきます。めんどくさい人は、読み飛ばしてください。)

で、相関係数を説明する前に、どうしても、分散や標準偏差の話に立ち戻って考える必要があります。ただ、少々、数式が出てきますので、ちょっとだけ我慢してください。Logとか積分とか偏微分とかのへんちょこりんな記号はでてきませんので。

ポートフォリオのリターンは加重平均で求めることができました。

20071227-1

でも、標準偏差はこんなに簡単にはいかないようです。ここで、新しい記号を導入します。σで標準偏差を表します。また、σの2乗は分散となります。この記号を使うと、

20071227-2
は、一般には成り立たない。

と書き表せます。(「一般には成り立たない」、とは常に成り立つわけではないと言う意味です。)

標準偏差は分散の平方根でしたので、一段階ほど分散よりも複雑な式となっています。そこで、しばらく分散で考えて見ましょう。

ポートフォリオの分散も個々のペアの分散の加重平均とは異なる値となります。そこで、ちょっとしたアイデアを導入しましょう。もし、何らかの調整項を導入して、

20071227-3

と表すことができれば、そして、調整項を容易に求めることができれば、ポートフォリオの分散が簡単に計算できることになります。

この調整項の正体はいったい何になるのでしょうか。

ところで、個別通貨ペアの分散の前のウエイトwが突然2乗になっているじゃないか。と気がついた人もいると思います。でも、適当に2乗をつけた訳ではありません。

ランダムさの尺度 その3で分散の計算をするときには、リターンを2乗するとしました。それゆえ、リターンの前にウエイトをつけた場合は、ウエイトも2乗されてしまいます。

ウエイト付きのリターンを仮にvとおけば、

20071227-4

です。

次回に続きます。

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ポートフォリオの標準偏差を計算する

今回はエクセルを使って、実際に2つの通貨ペアのポートフォリオの標準偏差を計算してみましょう。

毎度のことながら、スワップ派のためのFXポートフォリオ別館から、ポートフォリオの標準偏差(2007/12/26)をダウンロードしてください。

どこかで見たシートです。リターンの合成とほとんど同じです。ただ、少しだけ加えたところがあります。標準偏差が計算してあります。

以下、シートを見ながら読んでください。

D列、E列にはそれぞれUSDJPYとEURCHFのリターンが計算されていました。エクセル関数をつかって、これ等の標準偏差を計算します。

C5、C6にその結果が表示されているので確認してください。また、その隣のD5、D6には、分かりやすいように年率換算した値が入っています。

同じようにポートフォリオの標準偏差も簡単に計算できます。C7にI列の標準偏差を計算した値が入っています。これがポートフォリオの標準偏差です。

ポートフォリオのリターンが計算できれば、相関係数など使わなくとも簡単に計算できますね。

ここで、I5とI6を変更して保有ウエイトを変更してみてください。ポートフォリオの標準偏差と色々な値を持つことが分かります。

きっと、標準偏差が最小になるウエイトがあるんでしょうね。


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相関係数なんて使う必要が無い

相関係数を使わないで、ポートフォリオの標準偏差を求める。そんなことできるのか?と思われる人もいるかも知れません。

でも、

使わない方がよっぽど簡単に計算できます。
相関係数なんていらんのです、実際のところ。中途半端に分かった気になるくらいなら。

ところで、標準偏差はどうやって計算したか、覚えていますか。為替レートのリターンを計算して、その標準偏差を計算しました。標準偏差の計算方法を参照してください。

実際には、エクセル関数のSTDEVを使うと簡単に求めることができます。USDJPYもEURCHFも簡単に求められますね。では、2つのペアを合成したときの標準偏差は? 

ポートフォリオのリターンを計算するで、AペアとBペアのポートフォリオの実績リターンをエクセルで計算しました。そのシートでポートフォリオのリターンが既に計算されているのです。

それなら、そのポートフォリオのリターンの標準偏差を計算すればよいと思いませんか。

標準偏差の計算は、為替レートのリターンにだけにしか使えないわけではありません。そんなルールはどこにもありませんね。

だったら、リターンの系列があれば、何にだって標準偏差は計算できます。
つまり、

相関係数なんて使う必要が無い

との結論に至りました。

めでたしめでたし、、、このブログも終了。

ではありません。
次回に続きます。いよいよ実際に計算します。

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ポートフォリオの標準偏差

いよいよ標準偏差の合成、つまり、ポートフォリオの標準偏差を計算しましょう。これをやるために今まで延々と説明をして来たと言っても過言ではありません。

リターンと同様にまずは2銘柄で考えます。
Aペアの標準偏差を8%
Bペアの標準偏差を12%
とします。このとき、2つのペアを保有しているポートフォリオの標準偏差はどうなるでしょうか。

例えば、両ペアとも50%ずつ保有した場合です。リターンと同じように、ウエイトかけて足し合わせて、
ポートフォリオの標準偏差=0.5×8%+0.5×12%=10%
と簡単に計算できるのでしょうか。

などとわざわざ書いているので、そう簡単には行かないのは見え見えです。答えを最初に書いてしまうと、この場合、ポートフォリオの標準偏差は、2%?10%の間のどれかの数値になります。

この数字を決めるのは、
そうですね。勘のいい人はわかりますね。

相関係数です。

で、相関係数の初心者向けの説明を本やら何やらで読むと、分かったような分からないようなことが書いてありますが、ここではどうしましょう。

一知半解ほど投資の世界では危険なことはありません。よって、正攻法で行きます。
と言っても突然、相関係数の定義などと言って数式を並べたところで、ますます訳が分からなくなるのは目に見えています。

そのため、一旦、相関係数を使う方法を迂回してポートフォリオの標準偏差を求める方法をやりましょう。

次回に続きます。

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ポートフォリオのリターンを計算する

今日は、USDJPYとEURCHFを保有しているときのポートフォリオのリターンを実際にエクセルで計算します。

いつものように、スワップ派のためのFXポートフォリオ別館 から
 ポートフォリオのリターン(2007/12/23) をダウンロードしてください。


これ以下の記事は、エクセルシートを見ながら読まないと意味不明となります。

B列にUSDJPY、C列にEURCHFが入っています。D列、E列にはそれぞれに対応する日次リターンが計算されています。

リターンの計算方法が分からない人は、同じに見えるを参照してください。F列、G列をUSDJPYとEURCHFリターンを累積して指数化した値が入っています。

異なる為替レートの動きを比較するときに、レートの水準が異なっているとわかりづらいので、比較する期間の初日を100となるように調整します。これを指数化すると言います。このようにすれば、容易にそれぞれの動きを対比して見ることができるようになります。

I列にポートフォリオのリターンが計算されています。シートの計算式を見れば分かるように、それぞれのウエイトとリターンをかけた値を足し合わせています。

各通貨ペアのウエイトはI5とI6で変更することができます。Shortにしたい場合はマイナスの数値を入れてください。

また、ウエイトの合計値がI7に計算されますが、ここが100%となるように数値をセットしてください。100%以外の数値では、レバレッジをかけたことになります。

J列は合成したリターンの累積値です。これも指数化されていますので、元のレートと簡単に比較が可能です。

シート上のグラフを見てください。ポートフォリオのリターンは、丁度USDJPYとEURCHFの真ん中あたりです。

ここで注意していただきたいことがあります。
ウエイトを指定して合成する場合には、必ずリターンで合成してください。
レート値そのものや指数の値にウエイトをかけて足し合わせると間違った結果が得られてしまいます。

次回はいよいよポートフォリオの標準偏差について考えます。

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ポートフォリオの実績リターン

前回は期待リターンの合成をやりましたが、今回は実績リターン、つまり、2銘柄での過去のリターンの合成をします。やり方は同じです。ここでもレバレッジ1倍と固定して考えます。

ある日のAのリターンとBのリターンを合成したABのリターンは
20071221-1
となります。これは、常識的にわかります。

例をあげて説明しましょう。
Aペアは円換算で50円の評価額があります。
Bペアは100円の評価額があります。
ポートフォリオはAとBを両方とも1単位Longで組み込んでいます。
また、昨日、Aペアは2%上昇しました。Bペアは3%下落しました。

このときのAとBのポートフォリオのリターンの計算をすると
Wa=50円/(50円+100円) =0.3333 = 33.33 %
Wb=100円/(50円+100円) =0.6666 = 66.66 %
であるので、

ポートフォリオのリターン=0.3333×2% + 0.6666×(‐3%) = ‐1.333%

となります。

ここで、唯一、注意する必要があることは、ウエイトWは評価額で計算する必要があることです。上記の例では、両方とも同じ単位数を持っているから50%づつとしてしまっては、間違った答えとなってしまいます。

次に、ショートポジションが含まれている場合について考えます。2通りの考え方がありますので、両方とも理解してください。

1. リターンを調整する (前回の期待リターンのときと同じように考える)
Longポジションに対してShortポジションは、リターンが逆符号になります。合成リターンの計算では、ウエイトはすべてLongポジションで計算したときと同じにし、Shortポジションの通過に対しては、リターンをすべて逆符号とします。

2. ウエイトを調整する
リターンはそのままとして、ウエイトを逆符号とします。ただし、各通貨ペアのウエイトを計算するときの分母(=ポジション総額)を計算するときは、各通貨の評価金額に絶対値をつけてください。先ほどの例で、Bペアを1単位Shortしたときは
Wa=50円/(50円+100円) =0.3333 = 33.33 %
Wb=‐100円/(50円+|‐100円|) =0.6666 = ‐66.66 %
となります。

ポートフォリオのリターンは、どちらの方法で計算しても同じ値になることを確認してください。
今日は簡単でした。次回は、実際にエクセルで計算してみましょう。

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ポートフォリオの期待リターン

個別の通貨ペアでシャープレシオを計算した人はお分かりだと思いますが、1を超えるような通貨ペアは無かったと思います(ドルペッグは除く)。では、FX投資では1を超える投資はできないのでしょうか?

そんなことはありません。さて、その方法は、

相関がどうしたこうした。
ポートフォリオ理論がうんたらかんたら。

と、すぐには先に行かないことは、このブログをお読みになってきた人は予想がつきます。しつこく、外堀を埋めてゆきます。

では、通貨ペアを2つ組み合わせる場合から調べてみましょう。2通貨ペアのポートフォリオです。まず、リターンの合成からです。

Aペアの期待リターンは4%
Bペアの期待リターンは8%

です。AとBを両方保有すると、期待リターンは何%になるでしょう。
4%+8%=12% ?

どうも変です。通貨ペアを増やすと期待リターンも増えてしまいました。実は、証拠金ベースで考えればこのような考え方えも良いのですが、ポジションベース、つまり、レバレッジを1倍と固定したときでは違います。

レバレッジによって期待リターンが異なると訳が分からなくなるので、しばらくレバレッジ1倍で考えましょう。
組入れ比率という概念を導入します。

Aの組入れ比率(Wa)=Aの評価金額/ポジションの総金額
Bの組入れ比率(Wb)=Bの評価金額/ポジションの総金額
ポジションの総金額=Aの評価金額+Bの評価金額

とすれば、AとBの2ペアの場合は
Wa+Wb=1 (=100%)
の関係が成り立ちます。

このとき、

2銘柄の合成期待リターン=Wa×Aペアの期待リターン+Wb×Bペアの期待リターン

となります。各通過ペアの組入れ比率に期待リターンをかけて、それを足し合わせれば、合成の期待リターン(今後、ポートフォリオの期待リターン)が計算できます。

先ほどの例では
ポートフォリオの期待リターン=Wa×4%+Wb×8%
です。

たとえば、Aペア、Bペアが等比率ならば
ポートフォリオの期待リターンは0.5×4%+0.5×8%=6%
ですね。

分かりきったことを書くなと言われそうですが、とても重要なことです。後でポートフォリオの標準偏差が出てきますが、こんなに簡単にはいきません。

さて、たまには数式で書いてみましょう。数式と言うと毛嫌いする人も多いですが、要するに、日本語でだらだらと書くとめんどくさいので、簡略化しただけのことです。まあ、道路標識のようなものです。「駐停車禁止です。」と表示するより、「青地に赤丸×」と記号を書く方が簡単で見るほうも楽です。

期待リターンの合成を数式で書くと

E[rp]=waE[ra]+wbE[rb]
ただし、wa+wb=1

ここでE[r]はrの期待値、raはAのリターン、rbはBのリターン、rpはポートフォリオのリターンを表すという意味です。どうってことないですね。このような計算をウエイトで加重平均をすると言います。

ちょっと変形して

E[rp]=waE[ra]+(1-wa)E[rb]

と書くこともできます。要するにBのウエイトは100%からAのウエイトを引いたものだからです。

また、ショートポジションの場合は、ウエイトはそのままで期待値をマイナスにしてください。ショートポジションを取るとスワップ金利がマイナスになる通貨ペアを考えれば違和感はないと思います。

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シャープレシオ その5

まだシャープレシオだ、いい加減にしろ。と言われそうですが続けます。

ここまでで、ようやくシャープレシオの数値の意味が分かるための準備が整いました。
さて、SR=1とはどのような意味でしょう。この場合、標準偏差10%なので、期待リターンは10%となります。

つまり、T=100時点までにスワップ金利が10円もらえるわけですね。T=100でレートが90円以下になったら損失がでることになります。そのような確率は15%ですね。

なんで???

先ほどの推定から90円?110円の間に入る確率は70%でした。つまり、この範囲を外れる確率は30%です。さらに、分布は左右対称でしたので、上に外れる可能性も下に外れる可能性も等しくなります。

よって、下に外れる可能性、つまり90円以下になる確率は30%÷2=15%になります。
同様に、
SR=2ならば損失が発生する可能性は2.5%、SR=3ならばなんと0.15%!

これって、すごいことだと思いませんか。SR=3ではなくで、シャープレシオを使うと投資をする前に、損失が発生する確率が分かることです。

さらに、SRが1違うと、ものすごく大きな違いがあることもわかります。
SR=1とSR=2では損失確率に6倍もの違いがあります。

ここで、思いませんか?

少しでもシャープレシオを大きくする方法はないのだろうか?

次回から、この課題を追求してみましょう。
いよいよ、ポートフォリオ理論が登場でしょうか???


<重要な追記>
上記記事で損失確率を具体的な数値として書いてありますが、実際の金融時系列では、ファットテールと言われる問題があり、SRが2や3の場合の損失確率は、もっと大きくなります。この点は、大変重要ことですので、ご注意ください。また、運用開始後に標準偏差が急激に上昇することもあります。そのようなときは、運用開始前の推定値では、リスクを過小評価することになってしまい、危険です。本記事を参考にしてトレードした結果については、著作者は責任を負うことは出来ませんので、その点、ご了承ください。




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シャープレシオ その4

しつこく、シャープレシオの説明です。
そろそろ、

FX投資するならこの通貨ペア
最新シャープレシオ・ランキング!


でもやったほうが良いですか? スワップ金利ランキングより意味があると思いますが、「FXポートフォリオ」とタイトルにもあるので、そのようなことはちょっと遠慮させていただきましょう。その代わり後で、もっとおいしいメニューが出てきます。

ところで、数回前まで、この辺にブログランキングのボタンを置いてみたのですが、効果があまりないようなので、下の方だけにします。最後まで読んだら、ポチ応援お願いします。

さて、T=100時点の対数正規分布ですが、ややこしいので正規分布で考えることにしました。分布の一番山の高い所は最初の値の100となります。

また、標準偏差は1日で1%でしたので、100日では10%となります。
(100日目なのでその平方根である、10をかけると換算できます。1日当りn%の標準偏差のリターンをT日累積すると、累積リターンの標準偏差はn×√T%になります。この換算については、近々説明しますので、今はそんなものだと思ってください。)

ここで、正規分布が持つ非常に都合の良い性質を利用します。正規分布は、平均値と標準偏差が決まると、分布の形状が決定されてしまうのです。そして、

平均から
±0.5標準偏差の間に約40%
±1標準偏差の間に約70%
±2標準偏差の間に約95%
±3標準偏差の間に約99.7%
が入ります。

T=100時点の分布グラフの標準偏差は10%で、金額に換算すると10円に相当します。
つまり、
100円±5円(95円?105円)の間に1000個のうち約400個
100円±10円(90円?110円)の間に1000個のうち約700個
100円±20円(80円?120円)の間に1000個のうち約950個
100円±30円(70円?130円)の間に1000個のうち約997個
入っていると推定できます。

実際に数えてみました。
100円±10円に678個、100円±20円に946個、100円±30円に997個
ありました。すごいですね。完璧ですね。(追記)

まだ、続きます。

(追記) 1000本程度の乱数では、実際にはこんなに上手くにいきません。ちょっと発生させた乱数に細工を加えて、きれいになるようにしています。
ところで、これ、金融屋さん(と言うと高利貸しか?)が良くやる、モンテカルロシミュレーションというやつです。ようするに、「乱数をたくさん発生させる、そして数を勘定する。」ということです。難しそうなことを言っても、原理は単純です。

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シャープレシオ その3

今回は、シャープレシオ(以下、SR)の数値をどう評価するかを考えて見たいと思います。SRは高ければ高いほど有利な投資です。では、その数値自体の意味は何でしょう。

例えば、SRが1とSRが2の投資機会があったとします。SR=2の投資は単純にSR=1の投資に対して2倍有利である、と考えてよいのでしょうか。

ここで、リターンの分布の話をする必要があります。実は、分布の話はややこしいのであまりしたくないのですが、幸い、多少の準備はできています。

リスクと標準偏差で使ったエクセルシートが役立ちます。ダウンロードしていない人は、ここからゲットしてください。スワップ派のためのFXポートフォリオ別館にある標準偏差の比較(2007/12/15)です。

このシートで、正規乱数と呼ばれる為替リターンと同じような性質を持つ擬似的なリターンを累積して、為替レートの変動の大きさを実験しました。F9ボタンを押して難解も乱数を発生させると、T=0時点で100から始まったレートは、T=100の時点でいろいろな値をとります。では、T=100の時点で取る値には、何か特徴があるのでしょうか。

こんな実験をしてみましょう。F9ボタンを1回おすと、T=100の時点お数値を1つ取得することができます。そして、その数値を記録しておきます。この操作を何百回も繰り返して、すべての数値を記録します。(VBAが書ける人は実際にやってみると面白いですよ。)

次に、そのたくさんの数値を値(分位)によって分類します。例えば、・・・96?98、98?100、100?102、102?104・・・のように。そして、それぞれの分位に何個値が入っているか数えます。

時間軸を1目盛り1日と考えて、標準偏差が1日当り1%(100日に換算すると10%に相当)のときの結果を棒グラフで表示してみましょう。1000回の繰り返してデータを作ってみました。以下が結果です。

100に近いほど多く、100から離れるほど少なくなっています。また、100を中心に左右がほぼ対称になっています。統計を少しでも勉強された人は、見たことがあるグラフだと思います。
分布1

正規分布ですね。
いいえ、違います。
対数正規分布です。

でもこの場合、あまり大きな違いはないので正規分布として以下考えましょう。対数正規でやるとLogという関数が出てくるので、じん麻疹が出て読むのを止めてしまう人が頻発する可能性があります。それに、Logを分かりやすく説明するのも2回分くらい余計に記事を書く必要があり、私も大変です。 

というわけで、次回に続きます。

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シャープレシオ その2

投資魅力度を表す式として

候補1:投資魅力度=期待リターン?予想リスク  (引き算)
候補2:投資魅力度=期待リターン/予想リスク  (割り算)

のどちらがより適切でしょうか。


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レバレッジ1倍の状態で
期待リターン=7%、予想リスク=5%としてみます。

候補1:投資魅力度=7%?5%=2%
候補2:投資魅力度=7%/5%=1.4

と計算されます。

次にレバレッジを2倍としてみます。
このとき、期待リターンは証拠金に対して2倍の14%、変動率も証拠金に対してはそのまま2倍になりますので、予想リスクも2倍の10%となります。

候補1:投資魅力度=14%?10%=4%
候補2:投資魅力度=14%/10%=1.4

候補1では、投資魅力度が2倍になってしまいました。レバレッジを大きくすれば大きくするほど、投資魅力度が大きくなってしまいます。これでは、少しおかしい気がします。一方、候補2では同じ値となっています。

投資魅力度は、通貨ペアAと通貨ペアBのどちらに投資するのが有利であるかを判断するために使いたいので、候補1のようにレバレッジに依存する性質は、都合がよくありません。

候補2は一定ですので問題はありません。つまり、投資対象の選択だけに依存します。
よって、候補2を投資魅力度として採用します。

とうとう、期待リターンと予想リスクを使って投資の優劣を数値で判断する計算式にたどり着きました。この式のことをシャープレシオといいます。

シャープレシオ=期待リターン/予想リスク  (追記)

この式はスワップ派にとっては絶対に外せない式です。シャープレシオを知らないでスワップ狙いの投資をするのは、コンパスなしで航海に出るのと同じくらい無謀なことです。

シャープレシオが大きい=良い投資
シャープレシオが小さい=悪い投資

です。

自分でシャープレシオを計算できるようになりました。
いろいろな通貨ペアでシャープレシオを計算してみると面白いですよ。


(追記)
シャープレシオの正確な定義は、(リターン?リスクフリーレート)/リスクです。為替証拠金取引で、スワップレートを期待リターンと考えた場合には、ショート側の短期金利が既にマイナスされているので、リスクフリーレートを省略してリターン/リスクをシャープレシオとして問題ありません。

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シャープレシオ その1

前回、リスクの尺度として標準偏差としても良さそうだ、と書きました。これ以降しばらくの間
リスク=標準偏差
としましょう。(あくまで、FXの証拠金取引や株の現物取引の場合と考えてください。オプションや保険、宝くじや事故率などのリスクは標準偏差だけでは表せません。)

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ここで、いったんおさらいします。

リターン:スワップ金利
リスク:リターンの標準偏差

と表せることが分かりました。

ただし、実際に投資するときは過去のリターンなどはどうでもよく、今後のリターンをどう見るか、が重要です。そのようなリターンを期待リターンといいます。また、リスクもこれからどうなるかが重要なので、予想リスクといいましょう。

投資家にとって、「期待リターン」と「予想リスク」の2つのパラメータを正しく求めることは、むちゃくちゃ重要です。

スワップ派にとって、期待リターンは業者が提示しているスワップ金利(各国間の短期金利差)としてよいでしょう(追記1)。また、予想リスクは過去のリターンの標準偏差としましょう(追記2)。

ようやく、投資判断の材料がそろいました。この2つのパラメータで投資判断をしましょう。つまり、この二つのパラメータを使って投資魅力度のような値を計算すれば、投資魅力度が高いものほど良い投資だ、と判断することが可能になります。

期待リターンは高ければ高いほど良い
予想リスクは低ければ低いほど良い

ですので、
投資魅力度は、

期待リターンが高いほど大きくなる
予想リスクは低いほど大きくなる

ような式を作ればよいでしょう。そんな都合の良い式はあるでしょうか。

候補1:投資魅力度=期待リターン?予想リスク  (引き算)
候補2:投資魅力度=期待リターン/予想リスク  (割り算)


二つの式とも投資魅力度の性質を満たしています。どちらの式が適切でしょう。

次回に続きます。

(追記1)期待リターンの推定はそんなナイーブな話ではないと言われる方も多いと思いますが、あえて、これでも良いと私は考えています。さすがにインフレ率が強烈な場合は除きますが。
(追記2)予想リスクの推定方法は、リターンの単純な標準偏差を使う方法から、もっと統計的に複雑な方法まであります。また、リターンの標準偏差の値は時間方向で比較的安定していますので、過去から計算した値をそのまま予想値として用いることも可能です。

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標準偏差とリスク

シャープレシオの話をする前に、標準偏差とリスクの関係を理解する必要があります。今日はその準備です。

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標準偏差を使うことによって、為替レートの不確定要素を数値として表すことができました。また、エクセルのシートを使うと簡単に計算できることもわかりました。
 
標準偏差が大きいほど日々の為替レートの変動が大きいことになります。
数値だけ見ても、いまひとつ感覚がつかめない人もいると思いますので、エクセルで簡単な実験をしてみたいと思います。

このページ→スワップ派のためのFXポートフォリオ別館

から、標準偏差の比較(2007/12/15)
をダウンロードしてみてください。

このシートでは大きさの異なる標準偏差を持った乱数を2系列発生させて、グラフでその動きを比較をすることが出来ます。

何のチャートだで書いたように、乱数系列を為替のリターンと仮定して累積すると、為替レートと見分けのつかないような動きになります。

そこで、このシートでは大きさの異なる標準偏差を持った乱数を2系列発生させて、グラフでその動きの比較をすることによって、標準偏差と為替レートの動きの関係を感覚的につかむことができるようになります。

シートの解説をします。
エクセル関数(RAND)で作ることが出来る乱数は一様乱数で、0?1間で一様に分布する(どの数値も同じ確率で存在する)乱数が発生します。

そのため、為替リターンに近い動きをする正規乱数に変換する必要があります。(ランダムさの尺度 その1を参照) エクセル関数(NORMSINV)を使うと、一様乱数を簡単に正規乱数に変換することが出来ます。この変換で出来る正規乱数は標準偏差が1となります。

標準偏差1というのは、%単位だと100%なので、為替リターンと見なすには少し大きすぎます。そこで、標準偏差の調整をする必要があります。

D列の式を見れば分かるように、100で割れば1%に変換できます。また、3%の標準偏差にしたい場合は、100で割って3をかければ簡単に変換できます。

B列とC列には一様乱数列が発生しています。そして、D列、E列にはそれぞれ、C列、D列から変換した標準偏差調整後の正規乱数が計算されています。

D列は標準偏差が1%、E列は初期状態では3%となっています。E列はE8セルの数値を変えると任意の標準偏差を持った正規乱数列とすることができます。

D列は日次の標準偏差が1%
E列は日次の標準偏差が3%(初期状態)

となっている、擬似的な為替のリターン系列が出来ました。

次に、この擬似為替リターンを使って擬似的な為替レートを作って見ましょう。
ランダムではありませんで書いたように、為替リターンを累積すれば為替レートになります。G列、H列はそれぞれ、D列、E列の値を累積した値が入っています。比較のために、両方ともT=0時点(A列を参照)のとき100として計算しています。

このG列、H列の折れ線グラフがシートに張ってありますので、比較してください。黒線は標準偏差1%、赤線は標準偏差3%です。赤の方が動きが激しいことが見た目でもはっきりと分かります。

ここで、F9ボタンを押してください。乱数列が再発生するのでグラフの形状が変わると思います。グラフの形状が変わっても標準偏差が大きい赤い線の方が動きが激しいと思います。

さらに、何度もF9を押して、T=100の時点で黒い線と、赤い線がどの位置にいるか観察してみてください。赤い線の方が初期値(T=0)の100から大きく離れることが多いと思います。

現実の為替でも同様にリターンの標準偏差が大きい方が、為替レート自体もどこに行ってしまうか分からないことになります。

為替レートがどこに行ってしまうか分からないことをリスクと考えるならば、リターンの標準偏差をリスクの尺度としても良さそうですね。

蛇足を加えると、
リターンの標準偏差が大きい
  ↓
どこに行ってしまうか分からない
  ↓
損する可能性が大きい
  ↓
リスクが大きい

です。

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標準偏差の計算方法

エクセルで標準偏差の計算をします。エクセルファイルを作りましたので、ダウンロードしてみてください。
ここからダウンロードできます。
↓  ↓
スワップ派のためのFXポートフォリオ別館
の標準偏差の計算(2007/12/14)です。
(別館はホッタテ小屋です。まだ、何もありません。)

シートを見れば分かると思いますが、簡単に解説します。
右上に赤い三角が小さくついているセルには、コメントがついていますので参考にしてください。また、黄色になっているセルが計算値です。

USDJPYで101日分のレートがB列に入っています。C列には為替レートから計算したリターン系列が100日分入っています。同じに見えるで説明の通りに計算されているので確認してください。
このリターン100日分を使って標準偏差を計算します。

USDJPYのレートで標準偏差を計算するのではありませんので注意してください。
まず、シート関数を使って計算する方法です。

標準偏差や分散を手っ取り早く計算するには、エクセルの関数を使えば簡単にできます。
C8セルには分散C7セルには標準偏差が計算されています。セルの式を参照してください。
(STDEVで標準偏差、VARで分散が計算できます。)

次に、シート関数を使わないで計算する方法です。
FXのスワップで稼ごうと考えている方は、関数を使わずに計算する方法もマスターしておいた方が、後々役立つと思います。

前回、標準偏差の計算方法はリターンの2乗平均の平方根と書きましたが、ここでは、エクセルの関数の定義に合わせて(こちらの方が一般的です)、リターンからリターンの平均値を引いた値の2乗平均で計算してみます。

D列は、リターンからリターンの平均値を引いた値です。リターンの平均値はC6セルに入っています。

E列は、D列を2乗した値です。D列の平均値が分散となります(E8セル)。そして、分散の平方根を取ると標準偏差(E7セル)となります。

ここで、注意しなければならないのは、E列の平均値を計算するときはE列の値を合計して要素の数(=100)で割るのではなく、要素の数?1(=99)で割る必要があることです。
なぜか、と言われるとややこしいので省略しますが、エクセル関数(STDEVやVAR)の数値と合わせるときは、こうする必要があります。

こうやって計算された値が、関数を使って計算したC列の値と同じ数値になっていることを確認してください。

G列は、リターンから平均値を引かない方法です。エクセル関数で計算した方法とほとんど同じ値になっています。為替リターンの標準偏差を計算する場合はこれでも良いでしょう。この場合、平均を計算するときは要素の数(=100)で割ります。

文章で書くと自分で読むのも嫌になりますが、シートを追ってもらえれば簡単に分かると思います。

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ちょっと一息

分散の計算をExcelで紹介しようとしたのですが、手順を追った画像を貼り付けてゆくのは非常に手間がかかることが判明したので、それはやめることにしました。
そのかわり、計算式を埋め込んだExcelファイルをアップしようとしたのですが、これも、ブログではダメなんですね。
というわけで、HPを作ってそちらにExcelファイルをアップして、ここからリンクすることにします。HPのことは、良く分からないので、ちょっと、これから格闘してみます。できたら、報告します。

というわけで、今日はブレイク。

最近、為替の長期ポートフォリオ用のリスクモデルも改良しています。ある程度のレベルまでいきましたら、これとオプティマイザーを使って作った、モデルポートフォリオもアップする予定です。
オプティマイザーも、Longのみの決め打ちで作ってしまえば簡単なのですが、Shortも対応させようとすると、案外、難しいものです。ようするに、スワップではマイナスになりますが、リスク低減効果の方が強いので、あえて、Shortポジションを組み込むというやつです。
これに対応させると、たとえば、対USDの20通貨をユニバースにして最適化を行うことは、20通貨すべての組み合わせのペアで最適化を解くのと、同じ効果が得られます。

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ランダムさの尺度 その3

もうひとつの尺度を考えて見ましょう。これは、ちょっと一ひねりした感じをうけます。各数値を2乗して平均をとります。

2乗するとマイナスの数値もプラスになりますので、平均したら0になってしまうことはありません。(たとえば、-2を二乗すると4となります。)

昨日の図で計算してみましょう。

グラフ12項乱数

グラフ2正規乱数

グラフ3正規乱数03


グラフ1では、1.0   1.0
グラフ2では、1.0   1.0
グラフ3では、0.11  0.33

となりました。
左の数値は、分散といいます。そして、分散の平方根を取った値を標準偏差(右の数値)といいます。分散では2乗して平均を取っているので、標準偏差は平方根をとって大きさを元のレベルに戻している数値、と考えてください。

(ここでも、平均からの偏差の二乗平均だとか、母分散だとか、標本分散だとかの野暮なことは言いたくありません。)

皆さんおなじみのボラティリティとは、通常、この標準偏差を年率換算(換算の方法は入門編で書く予定です)した値です。

分散や標準偏差は、数学的に非常に扱いやすいので通常はこの尺度を用います。
ついに、標準偏差(ボラティリティ)に到達しました。
かすかにポートフォリオ理論がみえてきました。これから、分散や標準偏差が大活躍します。

一旦、まとめます。
為替の標準偏差とは、

為替リターンの2乗を平均して平方根を取ったもの (注)

です。これは重要ですので覚えてください。

(注)本来の定義は、リターンの平均値からの差の2乗ですが、平均値を0と仮定すればこれでも良いことになります。


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ランダムさの尺度 その2

下のグラフを比較してください。
グラフ2(再掲)
正規乱数

グラフ3
正規乱数03

グラフ2とグラフ3は形状は同じようですが、数値の大きさが違います。グラフ2では-3?3くらいですが、グラフ3は、-1?1くらいの間の数値がランダムに発生しています。

発生している数値の大きさが違いますね。ただし、どちらも平均を取るとほぼ0となります。
では、この大きさを簡単に表す尺度を考えて見ましょう。

平均値は、どちらも0となってしまうのでダメですね。
どうしましょうか?
どこからか、声が聞こえてきます。

棒グラフの長さの平均値を取ればよいのでは?

いい線いってます。これも正解の一つです。長さなので数値の絶対値の平均を計算することになります。

下の図のように原数値である水色の値がマイナスの場合は、ひっくり返えします(赤)。そして、その値の平均をとります。
平均偏差

計算してみましょう。(絶対値とは、プラスの数値はそのまま、マイナスの数値はマイナスを取った数値に変換した値です。)

グラフ1では、 1.00
グラフ2では、 0.80
グラフ3では、 0.27

となりました。グラフ2はグラフ3の約3倍の数値ですね。
これを平均偏差といいます。平均的には毎日の数値の大きさがどのくらいあるのかを示します。

これらのグラフが為替のリターンとすれば、グラフ2の通貨ペアは、グラフ3の通貨ペアよりも3倍程度良く動くと言うことが出来ます。

平均偏差を使うことによって、通貨ペアのランダムさの尺度を数値化することができました。

(平均偏差は正確には平均値との差の絶対値の平均値ですが、そんな野暮なことはここでは言いたくありません。)

ただし、平均偏差は取り扱いが難しいので、普通は別の尺度をもちいます。

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ランダムさの尺度 その1

いよいよランダムさの性質を調べてみましょう。
下の2つのグラフを見てください。

グラフ1
2項乱数

グラフ2
正規乱数


グラフ1,2とも、ランダムな数値ですが性質が異なることは一目瞭然です。

グラフ1は、-1と1をそれぞれ確率50%でランダムに発生させたものです。
グラフ2は、平均を0となるようにして、あるルールに従って乱数を発生させたものです。-3?3位の間で色々な大きさの数値があることが分かります。

為替の日次リターンはどちらの乱数に性質が近いでしょうか。

同じに見えるでUSDJPYの例を示しましたようにグラフ2ですね。
(pips または tickのレベルでみればグラフ1のようになりますが、グラフ1とグラフ2の関係はちょっと難しいので、ここでは話題に上げません。)

2のような乱数で、ある種類の乱数は非常に扱いやすくとても便利なのです。そのため、ポートフォリオ理論では、資産(為替)のリターンもそのような乱数と同じような性質を持つとして扱います(正規乱数といいます)。


追記1)
グラフ1のような乱数を累積してゆくとグラフ2のような性質をもつ乱数に近づいてゆきます。そのために、tickレベルではグラフ1のような動きが、日次ではグラフ2のようになります。

追記2)
為替リターンは、実際には正規乱数(正規分布の乱数)とはいえません。このことは、今後リターンの分布の話をするときに書く予定です。

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相関行列

くりっく365採用の通貨ペアの相関行列を計算してみました。
現状、こんなもんだろう、と考えている計算方法で作っています。(単純に1年間や3年間のデータなどで作っているのではありません。)

日次ベースで計算をしていますが、たぶん、他のブログやページに載っている数値とちょっと違うと思います。計算方法の概要については、今後入門編で書く予定です。

2007年10月末時点
相関行列200710

数値は、結構直感に合致しています。(この感覚は意外と重要です。)
この行列を眺めていると、通貨を拡大してクラスター分析や因子分析をやりたくなります。
そのうち気が向いたら、それらで分析した結果も書いてみます。

週末は時々、相関行列などのデータを掲載してゆく予定です。


そういえば、今日は開戦記念日ですね。
たまには、時事ネタでも書いたほうがいいかな。


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為替の自己相関係数

自己相関とは、自分自身との相関のことです。といってもまったく同じ数値の相関をとっても1になって意味がありません。

そうではなくて、時間軸をずらして、t時点の数値とt+n(n≧1)時点の数値の相関のことです。

AutoCorr(n) = Corr(Xt,Xt+n)

をXのLag(n)の自己相関係数と定義しましょう。
もし、自己相関が有意に存在すれば将来の予測が出来るということになります。
スワップ派といっても、将来レートが予想できるのに越した事はないので、為替レートでやらない手はありません。

毎度おなじみのUSDJPYでやってみましょう。
1994/3/31?2007/10/30の日次データをつかって、Lag(1)のレートの自己相関を計算してみます。

結果は0.997

すごい!
ほとんど1だ!完璧に予想しているじゃないか。これでリタイア、南の島で優雅に暮らすぞ。
さて、確認のためにプロット図で見てみよう。

USDJPY Lag1 Rate

相関がほとんど1だと。
ちょっとまてよ、当たり前じゃないか?

昨日のブログで書いたある通り、昨日と今日のレートは近い数値だ。といっているだけだ。

肝心なのはリターンだ!リターンで自己相関を計算してみよう。同じ期間の日次のリターンで計算すると

結果は-0.02

念のためプロットしてみよう。
USDJPY Lag1 Return

そうだよな。そんな簡単に世の中儲かる話はないよな。
残念。

USDJPYのリターンのLag(1)の自己相関は、ほどんど0という結果になりました。つまり、この結果だけからでは「ランダムではない(≒予測ができる可能性がある)」とは言えません。

でも、Lag(2)、Lag(3)・・・・では? また、他の通貨では?もしかしたら何か関係が見つかるかもしれません。興味のある人はやってみてください。

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ランダムではありません

昨日書いたように、為替レートの数値自体は、ランダムではありません。というのは、明日の為替レートは今日の為替レートに近い数値になっているからです。

USDJPYは今日110円ならば、明日、突然1円になって、その翌日200円になるようなことはありません。大抵の場合110±2円程度に収まっています。

今日のレートが分かれば、明日の大まかなレートの数値は予想できるということです。(儲けられるという意味ではありません、利益はリターンから発生します。)ランダムなのはレートの変化率である「リターン」です。

ここで、
簡単な公式(リターンの定義)を示しておきます。
明日のレート=今日のレート×(今日のリターン+1)
例えば、USDJPYは今日、110.00円でリターンが1.2%であるならば、
明日のレート=110.00×(0.012+1)=111.32円
となります。

少し発展
今日のレートと明後日のレートの関係をリターンで表すと

明後日のレート=明日のレート×(明日のリターン+1)
   =今日のレート×(今日のリターン+1)×(明日のリターン+1)
となります。
今日とn日後のレートの関係は、その間の毎日のリターンをかけ合せてやればよいことになります。

このことを、リターンを累積するといいます。

なんか、お勉強しているみたいで
つまらない!
相変わらず、ポートフォリオの話は出てこないじゃない。

と言わないでください。この話、利益の出るFXのポートフォリオの作り方にちゃんとつながってゆきます。

今後、大活躍するポートフォリオ理論はリターンをベースとしていますので、ここの所をあやふやにしてしまうと、あとで、

大ポカ をやることになります。

今日のことに関連することで、次回はちょっと自己相関のさわりについて書いてみる予定です。



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確定要素と不確定要素

2回ほど実用編を書きましたが、また、元の話題に戻ります。

何のチャートだ

では、
為替のリターンは乱数のように振る舞うと書きました。つまり、将来の為替レートのリターンは予測不可能である、ということです。ちょっとまとめてみましょう。

確定要素:スワップ金利
不確定要素:将来の為替レートのリターン

確定要素であるスワップ金利は、毎日業者がほぼ確定した数値を提示しているので、特に問題はないでしょう。

問題は、不確定要素をどうやって扱うかです。これを取り扱うときは、2つの論点があります。

1.不確定なことを、なんとか予想できるようにする。
2.不確定なことは仕方ないとして、不確定さの性質を調べて対策を考える。

1.のアプローチの代表的な例はテクニカル分析やファンダメンタル分析での為替レートの予想です。

純粋スワップ派にとっては、レート予想の話題は取り扱いませんので、2の不確定さの性質をしらべて見ましょう。
結論を先に言いますと、スワップ派が安定して収益を上げるためには、不確定さをいかに克服するかが、もっとも大切なことです。

不確定さの性質を調べるといっても、雲をつかむような話ですが、ここで前回書いた「リターン」の考え方が役立ちます。

つまり、「リターン」が乱数のように振舞うとすれば、確率やら統計やらのツールを使うことが出来るようになるので、いろいろと便利なのです。

ここで、注意することがあります。
為替レートの「リターン」は乱数のようにみなせますが(ランダムとも言います)、為替レートの数値自体は、ランダムとして扱うことはできません。???

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マージンコールの発生確率 その2

では、計算してみましょう。
必要なパラメータは4つです。

•   確率を計算する期間
•   レバレッジ
•  スワップ金利
•  ポジションのボラティリティ

具体的なペアの方が面白いので、USDJPYとNZDJPYでやってみます。
ボラティリティは様々な計算手法がありますが、ここでは1年間の日次リターンの単純標準偏差の年率換算値とします。

USDJPYのボラティリティ

USDJPY=9.6%
NZDJPY=21.1%
となりました。

NZDJPYは、最近急激にボラティリティが上昇していますので、直近10年間での最高水準に位置しています。

スワップ金利は
USDJPY=4%
NZDJPY=7%
とします。

計算期間は3ヶ月としましょう。つまり、3ヶ月以内にマージンコールが起こる確率を計算することになります。

また、証拠金がどの水準になったらマージンコールが起こるか決める必要があります。業者によって異なりますが、ここでは、実質証拠金が0となった瞬間、つまり、含み損が証拠金と等しくなった瞬間にマージンコールが起こるとします。

この条件で、レバレッジを2倍から100倍まで変化させてみました。結果は下図です。

マージンコール確率

レートは上がるか下がるか、なので、どんなにレバレッジを大きくしてもマージンコール確率は最大50%だ。レバレッジ100倍で勝負!なんて思っていた人はいませんか?

やめましょう。

8?9割以上の確率で資金を失います。やるとしても1万円で宝くじくらいの感覚でやりましょう。

スワップ狙いなら、NZDJPYでは、レバレッジ3倍以上はやめたほうがよさそうです。ボラティリティが大きいので、レバレッジを少し上げただけで、マージンコールに引っかかる確率がかなり大きくなります。

USDJPYは、7倍くらいまでなら安全そうですね。


追記)
この記事では、評価期間を3ヶ月としていますが、もっと長期で保有する場合、各通貨のボラティリティが上昇した場合には、マージンコール確率は過小評価となる可能性がありますのでご注意ください。



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マージンコールの発生確率 その1

時々、実用的な問題を話題に取り上げることにします。

普通、FX証拠金取引ではレバレッジを効かせていますので、株で言うところの追証、つまり、マージンコールの危険性が常に存在します。

リスク管理の観点からレバレッジは5倍以内に抑えましょう、などとしばしば書かれていますが、実際にはどのくらいのレバレッジが限界なのでしょうか。

それを判断するために、マージンコールが発生する確率が表示できたら便利です。たとえば、

「USDJPYをレバレッジ20倍とすれば、1ヶ月以内にマージンコールが発生する確率はXX%である。」

なんて言えたら便利だしカッコいいですね。というわけで、早速計算してみましょう。と、簡単に書きましたが、結構ややこしい話です。以下の仮定を置いてみます。

• ポジション価値は対数正規分布に従いボラティリティ一定
• ドリフトはスワップ金利として一定
(実はこの仮定、2つともそれなりに問題がありますが、ここでは、これでいいでしょう)

こうすれば、ノックアウトオプションを評価をする方法と同じような考え方で計算することができます。

要するに、ある期間内で一度でもマージンコールが発生する価格に到達する確率を計算することです。導出は結構面倒ですが、これを一発で計算できる式がちゃんと存在します。

ただし、リターンがすその厚い変な分布に従ったり、ボラティリティが変化したりすれば計算式がありませんので、モンテカルロシミュレーションを使って、CPUパワー全開でやる必要があります。

ちなみに、VaR(バリューアットリスク)の考え方ですと、期間の最終時点でのみ評価をします。そのため、マージンコール確率は過小に計算されてしまいますので注意してください。VaRの考え方では、下図の通貨ペアAにはマージンコールは発生しないことになります。
通貨ペアBの場合のみマージンコールが発生したみなしてしまいます。

マージンコール図


明日は、具体的な計算例を示してみます。

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何のチャートだ

昨日の図の再掲

USDJPY2006 DailyRet

Random DailyRet


上はUSDJPYの2006年の日次の変化率でした。
下の図は乱数列(規則のない数値の列)を発生させて同じように棒グラフ化したものです。

乱数列とは規則のない数値で、次にどのような数値がくるのか
予想することは不可能な数列です。

図のタイトルと隠してしまえば、どちらがどちらか見た目じゃ分かりません。作った私が見ても、グラフだけからでは判断できません。

つまり、実際の為替レートであるUSDJPYの毎日のリターンは、乱数で発生させた値とほとんど区別がつきません。
ここで重要なことを書きます。

為替のリターンは乱数のように振舞う。

(乱数そのものではありませんが、純粋スワップ派にとっては乱数と考えてかまいません。)

次に、下の図を見てください。


USDJPY2006 CumRet

Random CumRet


上はUSDJPYのレートです。下は、先ほどの乱数を累積したものです。
乱数で作った累積値も為替レートの変動のように見えませんか。


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同じに見える

変動について書いてみます。

EURJPY(1EUR=160円とします)が1円60銭、円安になった
NZDJPY(1NZD=80円とします)が1円60銭、円安になった

どちらの変動が大きかったでしょうか。

当たり前ですが、変動の大きさは1円60銭で変わりありません。では、EURJPY、 AUDJPYも同じだけ動いたと考えてよいのでしょうか。
極端な例として、XXXという通貨があり、1XXX=2円だとします。
これが1円60銭変動したらどうなのでしょう。

そこで、変化した割合、つまり、変化率で考えてみます。

変化率=変化幅/レート

とします。難しく言うと、変化幅をレートで標準化します。
上の例では

EURJPYの変化率=1.6円/160円=1.0%
NZDJPYの変化率=1.6円/80円=2.0%
XXXJPYの変化率=1.6円/1円=160%

NZDJPYの方が変化率では2倍大きかったことになります。XXXJPYは160倍です。
というわけで、変化率を使えば、レートの数値の大きさの影響を排除できるので、通貨の変動が比較しやすくなります。

また、

投資資金の増減幅=変化率×投資金額

となりますので、変化率を使うといろいろと便利です。
変化率のことは、rate of return または、単にreturnといいますので、今後は、リターンと書きます。

リターンという言葉がでてきましたので、

「事前に、これから為替レートがどちらに動くか分からない」

「事前に、これから実現するリターンは分からない」

に書き換えてみます。同じことじゃないか、と思われるかもしれませんが、リターンという考え方を使うと今後いろいろと都合がよくなるので、まあそんなものかと、思ってください。

ここで、ちょっと下の図を見てください。


USDJPY2006 DailyRet

Random DailyRet


上の図は2006年のUSDJPYの毎日の変化率を時系列で棒グラフ化したものです。
下の図はなんでしょうか?

また、この2つの図を比べて何か思われませんか。

なんか、だんだんまじめになってきました。


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