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相関係数とは 必要ないの? その1

昔、巨人の星というマンガがありましたね。TVアニメとしても放映していましたが、あるパターンがありました。

永遠とも思われる長い前置きの後、ついに星飛雄馬が花形満と大リーグボールかなにかの対決となり、飛雄馬が花形に大リーグボールを投げた瞬間に時間切れ、翌週に続くとなります。

一週間やきもきして、ようやく続きを見られると思ってTVの前で陣取ると、なぜか、沢村栄治物語とか星一徹の現役時代とか、全然関係ない話が唐突に放映されます。なんというすばらしい構成だろう、と拍手喝采を送りたくなりました。

前回の終わりに、次回はいよいよ最適化の話か!

と期待されていた人は、同じような気分を味わうかもしれません。最適化の話はまだ当分先になります。ただし、これからの話を理解しないと最適化のことは分かりません。

本題です。

「相関係数とは」とタイトルに書いてしまったので、その話をしなければなりません。ここで、相関係数とは‐1から1の間の値をとって、0は無相関、±1は完全相関といい・・・

などと説明しても無意味(とまでは言いませんが)です。こんな説明ならWikiを見れば十分でしょう。要するに、分かっている人は分かるし、分からん人は分からんという説明ですね。

(これからしばらく数式が出てきます。めんどくさい人は、読み飛ばしてください。)

で、相関係数を説明する前に、どうしても、分散や標準偏差の話に立ち戻って考える必要があります。ただ、少々、数式が出てきますので、ちょっとだけ我慢してください。Logとか積分とか偏微分とかのへんちょこりんな記号はでてきませんので。

ポートフォリオのリターンは加重平均で求めることができました。

20071227-1

でも、標準偏差はこんなに簡単にはいかないようです。ここで、新しい記号を導入します。σで標準偏差を表します。また、σの2乗は分散となります。この記号を使うと、

20071227-2
は、一般には成り立たない。

と書き表せます。(「一般には成り立たない」、とは常に成り立つわけではないと言う意味です。)

標準偏差は分散の平方根でしたので、一段階ほど分散よりも複雑な式となっています。そこで、しばらく分散で考えて見ましょう。

ポートフォリオの分散も個々のペアの分散の加重平均とは異なる値となります。そこで、ちょっとしたアイデアを導入しましょう。もし、何らかの調整項を導入して、

20071227-3

と表すことができれば、そして、調整項を容易に求めることができれば、ポートフォリオの分散が簡単に計算できることになります。

この調整項の正体はいったい何になるのでしょうか。

ところで、個別通貨ペアの分散の前のウエイトwが突然2乗になっているじゃないか。と気がついた人もいると思います。でも、適当に2乗をつけた訳ではありません。

ランダムさの尺度 その3で分散の計算をするときには、リターンを2乗するとしました。それゆえ、リターンの前にウエイトをつけた場合は、ウエイトも2乗されてしまいます。

ウエイト付きのリターンを仮にvとおけば、

20071227-4

です。

次回に続きます。

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スワップ派のためのFXポートフォリオ 2007年12月27日
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相関係数とは 必要ないの? その1

昔、巨人の星というマンガがありましたね。TVアニメとしても放映していましたが、あるパターンがありました。

永遠とも思われる長い前置きの後、ついに星飛雄馬が花形満と大リーグボールかなにかの対決となり、飛雄馬が花形に大リーグボールを投げた瞬間に時間切れ、翌週に続くとなります。

一週間やきもきして、ようやく続きを見られると思ってTVの前で陣取ると、なぜか、沢村栄治物語とか星一徹の現役時代とか、全然関係ない話が唐突に放映されます。なんというすばらしい構成だろう、と拍手喝采を送りたくなりました。

前回の終わりに、次回はいよいよ最適化の話か!

と期待されていた人は、同じような気分を味わうかもしれません。最適化の話はまだ当分先になります。ただし、これからの話を理解しないと最適化のことは分かりません。

本題です。

「相関係数とは」とタイトルに書いてしまったので、その話をしなければなりません。ここで、相関係数とは‐1から1の間の値をとって、0は無相関、±1は完全相関といい・・・

などと説明しても無意味(とまでは言いませんが)です。こんな説明ならWikiを見れば十分でしょう。要するに、分かっている人は分かるし、分からん人は分からんという説明ですね。

(これからしばらく数式が出てきます。めんどくさい人は、読み飛ばしてください。)

で、相関係数を説明する前に、どうしても、分散や標準偏差の話に立ち戻って考える必要があります。ただ、少々、数式が出てきますので、ちょっとだけ我慢してください。Logとか積分とか偏微分とかのへんちょこりんな記号はでてきませんので。

ポートフォリオのリターンは加重平均で求めることができました。

20071227-1

でも、標準偏差はこんなに簡単にはいかないようです。ここで、新しい記号を導入します。σで標準偏差を表します。また、σの2乗は分散となります。この記号を使うと、

20071227-2
は、一般には成り立たない。

と書き表せます。(「一般には成り立たない」、とは常に成り立つわけではないと言う意味です。)

標準偏差は分散の平方根でしたので、一段階ほど分散よりも複雑な式となっています。そこで、しばらく分散で考えて見ましょう。

ポートフォリオの分散も個々のペアの分散の加重平均とは異なる値となります。そこで、ちょっとしたアイデアを導入しましょう。もし、何らかの調整項を導入して、

20071227-3

と表すことができれば、そして、調整項を容易に求めることができれば、ポートフォリオの分散が簡単に計算できることになります。

この調整項の正体はいったい何になるのでしょうか。

ところで、個別通貨ペアの分散の前のウエイトwが突然2乗になっているじゃないか。と気がついた人もいると思います。でも、適当に2乗をつけた訳ではありません。

ランダムさの尺度 その3で分散の計算をするときには、リターンを2乗するとしました。それゆえ、リターンの前にウエイトをつけた場合は、ウエイトも2乗されてしまいます。

ウエイト付きのリターンを仮にvとおけば、

20071227-4

です。

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