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相関係数とは その2

ところで、巨人の星では、・・・この話は止めましょう。

前回、突然GARCHでのボラティリティ推定を書きました。実は、今回の記事をアップしようか迷っていまして、ピンチヒッターで入れみてました。が、あまり受けなかったようですね。

GARCH自体は、以前、別の資産のリスクモデルを構築していたときに検討したのですが、推定ボラティリティが激しく変動しすぎるので、結局、使うことはありませんでした。

意外な使い方としては、短期売買のテクニカル派の人が、指標のスイッチングにつかうと面白いかもしれません。

さて、本題に入ります。
今日も数式が出てきますが、とばしてもらってもOKです。実際、細かい数式は分からなくとも、結果の使い方を正しく認識していれば、利用者としては十分なのです。

ただ、ちょっとばかり今後の都合もあって、相関の導出を書いておく必要があるので、興味のある人だけお付き合い願います。

予備知識として、中学で習った公式

20071228-1

を復讐じゃなかった復習しておけば、以下の数式は追えるはずです。

ポートフォリオのリターンは

20071227-1

でした。これを2乗してみましょう。

20071228-2

うぅ、頭が割れそうだ、やめてくれ。と声が聞こえてきそうです。

この式、どこかで見たことありませんか。
前回書いた、ポートフォリオの分散の式

20071228-3

と似ています。rとσを交換すればそっくりです。ウエイトも2乗になっていますね。となると、調整項は

20071228-4

のような形になることが予想されます。これ、ほとんど正解なのですが、ちょっと違います。肝心なものが抜け落ちています。

数式ばかりで、わかりづらいかもしれませんが、もともと、相関係数は数学的な概念なので、どうしても言葉だけでは正確には説明し切れません。もうすこし、お付き合い願います。

何度も書きますが、分散の定義はリターンを2乗して平均をとりました。式で書くと
(以下 r の平均は0とします。)

20071228-5

となります。要するに、1期からT期までrの2乗を足し合わせてTで割った、つまり、平均を計算したという意味です。
ここで、先ほどの式

20071228-6


を分散の定義式に放り込んでみましょう。うじゃうじゃと項があって大変ですが、整理すればやさしくなります。結果はこうなります。

20071228-7

ついに、調整項の正体が明らかになりました。

20071228-8

式を追ってくれた人、お疲れ様です。ついにここまで来ました、もう一歩です。

式を書くほうも疲れます。はぁ。

次回に続きます。


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こんにちは。資金を無駄にもてあましている
統計物理屋です。小金を増やしたいと思い、
やってきました。勉強になります。
調整項とは2乗和を展開したときに現れる、
変数のクロスタームなのですね。ふむふむ。
独立なら平均的にゼロですか?
分散(経済物理だと分散=リスクでした?)を
低くしようと思えば、独立な銘柄に投資すれば
よさそうですね。
【2007/12/30 12:23】 URL | 統計物理屋 #NUpTSsbk[ 編集]

>統計物理屋 さん

こんにちは
ときどき、統計物理屋さんのような方が現れるので、ブログでも下手なことは書けません。

独立な銘柄でポートフォリオを組めば、リスクを低下させることが出来ます。

ようするに、通貨ペアのリターンをベクトルとすれば、共分散は内積ですし、相関係数はcosθです。そう考えれば簡単に理解できます。

今後ともよろしくお願いいたします。

【2007/12/30 12:47】 URL | yamakouFX #-[ 編集]


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GARCH自体は、以前、別の資産のリスクモデルを構築していたときに検討したのですが、推定ボラティリティが激しく変動しすぎるので、結局、使うことはありませんでした。

意外な使い方としては、短期売買のテクニカル派の人が、指標のスイッチングにつかうと面白いかもしれません。

さて、本題に入ります。
今日も数式が出てきますが、とばしてもらってもOKです。実際、細かい数式は分からなくとも、結果の使い方を正しく認識していれば、利用者としては十分なのです。

ただ、ちょっとばかり今後の都合もあって、相関の導出を書いておく必要があるので、興味のある人だけお付き合い願います。

予備知識として、中学で習った公式

20071228-1

を復讐じゃなかった復習しておけば、以下の数式は追えるはずです。

ポートフォリオのリターンは

20071227-1

でした。これを2乗してみましょう。

20071228-2

うぅ、頭が割れそうだ、やめてくれ。と声が聞こえてきそうです。

この式、どこかで見たことありませんか。
前回書いた、ポートフォリオの分散の式

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と似ています。rとσを交換すればそっくりです。ウエイトも2乗になっていますね。となると、調整項は

20071228-4

のような形になることが予想されます。これ、ほとんど正解なのですが、ちょっと違います。肝心なものが抜け落ちています。

数式ばかりで、わかりづらいかもしれませんが、もともと、相関係数は数学的な概念なので、どうしても言葉だけでは正確には説明し切れません。もうすこし、お付き合い願います。

何度も書きますが、分散の定義はリターンを2乗して平均をとりました。式で書くと
(以下 r の平均は0とします。)

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となります。要するに、1期からT期までrの2乗を足し合わせてTで割った、つまり、平均を計算したという意味です。
ここで、先ほどの式

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こんにちは。資金を無駄にもてあましている
統計物理屋です。小金を増やしたいと思い、
やってきました。勉強になります。
調整項とは2乗和を展開したときに現れる、
変数のクロスタームなのですね。ふむふむ。
独立なら平均的にゼロですか?
分散(経済物理だと分散=リスクでした?)を
低くしようと思えば、独立な銘柄に投資すれば
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【2007/12/30 12:23】 URL | 統計物理屋 #NUpTSsbk[ 編集]

>統計物理屋 さん

こんにちは
ときどき、統計物理屋さんのような方が現れるので、ブログでも下手なことは書けません。

独立な銘柄でポートフォリオを組めば、リスクを低下させることが出来ます。

ようするに、通貨ペアのリターンをベクトルとすれば、共分散は内積ですし、相関係数はcosθです。そう考えれば簡単に理解できます。

今後ともよろしくお願いいたします。

【2007/12/30 12:47】 URL | yamakouFX #-[ 編集]


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