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相関係数とは その3

今回も数式が出てきます。めんどくさい人は読み飛ばしてもらっても平気です。
前回、最後に出てきた式の以下の部分のことを共分散といいσabと書きます。

20071230-9

分散の定義式とにていますね。r2の代わりのrabとしただけです。ra=rbとすれば、分散と同じになります。

つまり、分散とは、同じもの同士の共分散である、ということもできます。そして、この式はAとBの何らかの関係を表すと考えても良さそうです。

これから、この共分散の性質を調べてみましょう。と簡単に書きましたが、これを分かりやすく説明するのはかなり困難です。

ベクトルやらcosθやら使えると直感的な説明ができるのですが、数学が不得手の人には、ますます訳が分からなくなるだけで、どうにもなりません。

ここで数式をつかった説明を書いてみたのですが、あまり意味がなさそうなので省略します。

とりあえず、共分散と標準偏差との関係を先に書いておきます。(追記1)

20071230-2

共分散の絶対値は、互いの標準偏差の積よりも小さい値となります。そして、

20071230-3

つまり、共分散をそれぞれの標準偏差で割った値を相関係数と呼びます。

共分散は、raとrbの関係を表しますが、raやrbの標準偏差の大きさによって値が変化してしまいます。(標準偏差が大きいほど共分散も大きくなります。)

相関係数とは、共分散をそれぞれの標準偏差で割って、それらの大きさに左右されないようにした値です。つまり、raとrbの相対的な関係のみを表した数値と言えます。
たとえば、

20071230-7

となることがわかります。(この関係は共分散の定義式からすぐに導出できます。)

数値自体の読み方は、ほとんどの方はご存知なので簡単に書きますと、(追記2)
   ‐1    : 完全逆相関 raとrbは常に反比例関係が成り立っている。
    1    : 完全相関  raとrbは常に正比例関係が成り立っている。
    0    : 無相関    raとrbは無関係に変動する。
‐1<ρ<0 : 逆相関    raが大きいとrbは小さい傾向となる関係がある。
 0<ρ<1 : 順相関    raが大きいとrbも大きい傾向となる関係がある。

相関係数はグラフでプロットするとイメージできますので、近いうちにグラフの例をアップします。

2回ほど、数式ばかりでややこしかったのですが、途中はどうでもよいので、

20071230-5

だけ覚えておけば十分でしょう。
この式をつかって、後ほど実際にエクセルでポートフォリオのリスクを計算してみます。

次回からは、あまり数式がだらだら出てくることはありませんので、普段のペースに復帰できそうです。

次回に続きます。

(追記1)
20071230-8

(追記2)
完全相関は比例関係と書きましたが正確には線形関係です。
また、相関係数が0であるから2つの変数は無関係である、とは言えません。非線形関係等の相関係数では表せない何らかの関係がある場合があります。

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今回も数式が出てきます。めんどくさい人は読み飛ばしてもらっても平気です。
前回、最後に出てきた式の以下の部分のことを共分散といいσabと書きます。

20071230-9

分散の定義式とにていますね。r2の代わりのrabとしただけです。ra=rbとすれば、分散と同じになります。

つまり、分散とは、同じもの同士の共分散である、ということもできます。そして、この式はAとBの何らかの関係を表すと考えても良さそうです。

これから、この共分散の性質を調べてみましょう。と簡単に書きましたが、これを分かりやすく説明するのはかなり困難です。

ベクトルやらcosθやら使えると直感的な説明ができるのですが、数学が不得手の人には、ますます訳が分からなくなるだけで、どうにもなりません。

ここで数式をつかった説明を書いてみたのですが、あまり意味がなさそうなので省略します。

とりあえず、共分散と標準偏差との関係を先に書いておきます。(追記1)

20071230-2

共分散の絶対値は、互いの標準偏差の積よりも小さい値となります。そして、

20071230-3

つまり、共分散をそれぞれの標準偏差で割った値を相関係数と呼びます。

共分散は、raとrbの関係を表しますが、raやrbの標準偏差の大きさによって値が変化してしまいます。(標準偏差が大きいほど共分散も大きくなります。)

相関係数とは、共分散をそれぞれの標準偏差で割って、それらの大きさに左右されないようにした値です。つまり、raとrbの相対的な関係のみを表した数値と言えます。
たとえば、

20071230-7

となることがわかります。(この関係は共分散の定義式からすぐに導出できます。)

数値自体の読み方は、ほとんどの方はご存知なので簡単に書きますと、(追記2)
   ‐1    : 完全逆相関 raとrbは常に反比例関係が成り立っている。
    1    : 完全相関  raとrbは常に正比例関係が成り立っている。
    0    : 無相関    raとrbは無関係に変動する。
‐1<ρ<0 : 逆相関    raが大きいとrbは小さい傾向となる関係がある。
 0<ρ<1 : 順相関    raが大きいとrbも大きい傾向となる関係がある。

相関係数はグラフでプロットするとイメージできますので、近いうちにグラフの例をアップします。

2回ほど、数式ばかりでややこしかったのですが、途中はどうでもよいので、

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次回からは、あまり数式がだらだら出てくることはありませんので、普段のペースに復帰できそうです。

次回に続きます。

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完全相関は比例関係と書きましたが正確には線形関係です。
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