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相関係数をわかろう

相関のある正規乱数の組を発生させてグラフ化することにより、相関係数の意味を感覚的につかみたいと思います。

X?Y散布図というグラフを使うと、相関係数の感覚がわかります。X?Y散布図とは

(x1,x2,x3,・・・・,xn)
(y1,y2,y3,・・・・,yn)

という2つの数値の列があるとき、XYグラフに
(x1,y1)、(x2,y2)、・・・(xn,yn)
の座標でプロットしてゆくものです。下図は、
a点は(X,Y)=(0.5,0.75)  b点は(X,Y)=(-0.6,-0.3)
をプロットした例です。

20080106-1

標準偏差を1.0として、
相関係数を-1,0, -0.9,-0.75,-0.5,-0.25,0.0,0.25, 0,5, 0.75,0.9, 1.0の11通りに変化させてみましょう。発生させる乱数は、それぞれ1000組です。

20080106-3

20080106-2

相関が1.0だと完全に比例の関係が成り立っているのが分かります。式で書くとy=xの関係です。相関が1.0から小さくなる(0に近づいてゆく) と形が崩れてゆき、相関が0になると、xとyは、まったく関係がなくなったように見えます。

同様に相関が-1.0から0まで変化させた図も-1.0から0に近づいてゆくにつれ、だんだんと形が崩れてゆくのが分かります。また、相関が負の場合は点の傾きが反対になります。

つまり、
相関係数がプラスの場合は相関係数の値が大きいほど、2つの数字は近い値をとる確率が大きくなり、相関係数の値が0に近くなるほど、無関係な値をとることが分かります。

相関係数がマイナスの場合は相関係数の絶対値が大きいほど、2つの数字は反対の (符号だけ反対で数値は近い)値をとる確率が大きくなり、相関係数の値が0に近くなるほど、無関係な値をとることが分かります。

では、実際の通貨ペアでやってみましょう。2004/01/01?2007/10/31の日次リターンの1000日分のデータです。

USDJPYとCADJPY   相関係数=0.67
USDNZDとUSDAUD 相関係数=0.82
USDNZDとCADJPY  相関係数=-0.13
CADAUDとEURCHF  相関係数=-0.03
の4通りの組み合わせです。

20080106-4

それぞれ、乱数から生成したプロット図とほとんどそっくりであることが分かります。相関係数の大きいものは、それぞれのリターンが近い値をとり、相関係数が0に近いものは無関係な値をとっていることが分かります。

ただ、CADAUDとEURCHFだけはちょっとイメージがことなります。これは、CADAUDの標準偏差がEURCHFと比較して大きいので、横に広がって見えるだけです。グラフを縦に縮めてみれば、USDNZDとCADJPYと同じようなグラフになります。

X-Yグラフでプロットして2つのデータの関係を見るときに、標準偏差が大きく異なると、グラフの形状が異なって見えることがありますので、注意してください。

ところでちょっと発展ですが、下図のような場合、相関係数はどうなるでしょうか。

20080106-8

計算すると相関係数は0となります。しかし、xとyは明らかに関係があります。
式で書くとx2+y2=1です。
相関係数が0であっても、xとyは必ずしも無関係ではなく、単純に相関係数だけで判断はしない方が適切な場合もあります。

ちょっと余談ですが、頭の固い学者先生のなかには、相関係数のような線形関係だけで判断して、テクニカル分析は無効であるなどと主張している人もいるようですが、どうなんですかね。
このブログでは、テクニカル分析は触れていませんが案外面白いものです。これが終わったら、TradeStationのEasyLanguageのブログなんかどうでしょうか。

次回に続きます。


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(x1,x2,x3,・・・・,xn)
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という2つの数値の列があるとき、XYグラフに
(x1,y1)、(x2,y2)、・・・(xn,yn)
の座標でプロットしてゆくものです。下図は、
a点は(X,Y)=(0.5,0.75)  b点は(X,Y)=(-0.6,-0.3)
をプロットした例です。

20080106-1

標準偏差を1.0として、
相関係数を-1,0, -0.9,-0.75,-0.5,-0.25,0.0,0.25, 0,5, 0.75,0.9, 1.0の11通りに変化させてみましょう。発生させる乱数は、それぞれ1000組です。

20080106-3

20080106-2

相関が1.0だと完全に比例の関係が成り立っているのが分かります。式で書くとy=xの関係です。相関が1.0から小さくなる(0に近づいてゆく) と形が崩れてゆき、相関が0になると、xとyは、まったく関係がなくなったように見えます。

同様に相関が-1.0から0まで変化させた図も-1.0から0に近づいてゆくにつれ、だんだんと形が崩れてゆくのが分かります。また、相関が負の場合は点の傾きが反対になります。

つまり、
相関係数がプラスの場合は相関係数の値が大きいほど、2つの数字は近い値をとる確率が大きくなり、相関係数の値が0に近くなるほど、無関係な値をとることが分かります。

相関係数がマイナスの場合は相関係数の絶対値が大きいほど、2つの数字は反対の (符号だけ反対で数値は近い)値をとる確率が大きくなり、相関係数の値が0に近くなるほど、無関係な値をとることが分かります。

では、実際の通貨ペアでやってみましょう。2004/01/01?2007/10/31の日次リターンの1000日分のデータです。

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の4通りの組み合わせです。

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それぞれ、乱数から生成したプロット図とほとんどそっくりであることが分かります。相関係数の大きいものは、それぞれのリターンが近い値をとり、相関係数が0に近いものは無関係な値をとっていることが分かります。

ただ、CADAUDとEURCHFだけはちょっとイメージがことなります。これは、CADAUDの標準偏差がEURCHFと比較して大きいので、横に広がって見えるだけです。グラフを縦に縮めてみれば、USDNZDとCADJPYと同じようなグラフになります。

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式で書くとx2+y2=1です。
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